Ensembles algébriques affines : Définitions, Propriétés et Exemples

Définition formelle des ensembles algébriques affines

Soit $k$ un corps algébriquement clos, par exemple $k = \mathbb{C}$. On considère l’espace affine $\mathbb{A}^n_k$ de dimension $n$ sur $k$. Un ensemble algébrique affine est un sous-ensemble de $\mathbb{A}^n_k$ défini par l’annulation d’une famille de polynômes.

Définition rigoureuse

On note $k[X_1, \dots, X_n]$ l’anneau des polynômes en $n$ indéterminées à coefficients dans $k$. Pour tout ensemble $S \subseteq k[X_1, \dots, X_n]$, on définit le lieu des zéros de $S$ par :

$$V(S) = \{ a = (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{A}^n_k \mid f(a) = 0 \text{ pour tout } f \in S \}.$$

Un ensemble algébrique affine est tout sous-ensemble de $\mathbb{A}^n_k$ qui s’écrit $V(S)$ pour une certaine famille $S$ de polynômes.

Exemples fondamentaux

Reprenons $k = \mathbb{C}$ et $\mathbb{A}^2_\mathbb{C}$.

$V(X^2 + Y^2 – 1)$ est le cercle unité. C’est donc un ensemble algébrique affine.

$V(XY)$ est l’union des deux axes $X=0$ et $Y=0$. C’est aussi un ensemble algébrique affine.

$V(X – Y, X^2 + Y^2 – 2)$ est le singleton $\{ (1,1) \}$.

Théorèmes et propriétés centrales

Théorème 1 : Correspondance de Galois inverse

L’application $S \mapsto V(S)$ induit une correspondance bijective entre les parties de $k[X_1, \dots, X_n]$ et les ensembles algébriques affines de $\mathbb{A}^n_k$, à savoir :

$$I \longleftrightarrow V(I) \longleftrightarrow \sqrt{I}.$$

Ici, $\sqrt{I}$ désigne la racinale de l’idéal $I$. Ce théorème fonde l’équivalence entre la géométrie (les lieux de zéros) et l’algèbre (les idéaux).

Théorème 2 : Opérations sur les ensembles algébriques

Pour tous idéaux $I, J$ de $k[X_1, \dots, X_n]$, on a :

\begin{align*}
V(I) \cup V(J) &= V(IJ) = V(I \cap J), \\
V(I) \cap V(J) &= V(I + J), \\
V(0) &= \mathbb{A}^n_k, \quad V(1) = \emptyset.
\end{align*}

Par conséquent, la collection des ensembles algébriques affines est stable par unions finies et intersections (même infinies).

Théorème 3 : Décomposition en irréductibles

Tout ensemble algébrique affine non vide s’écrit de manière unique (à l’ordre près) comme union finie d’ensembles algébriques affines irréductibles. Une variété algébrique affine est un ensemble irréductible.

Preuves des théorèmes clés

Preuve du Théorème 2 ( unions et intersections )

Preuve :

$V(I) \cup V(J)$ correspond aux points où tout $f \in I$ et tout $g \in J$ s’annulent. C’est équivalent à l’annulation de tout $fg$ avec $f \in I, g \in J$, i.e. $V(IJ)$. Comme $I \cap J \supseteq IJ$, on a $V(IJ) \subseteq V(I \cap J)$. Réciproquement, si $P \in V(I \cap J)$ alors $f(P)=0$ pour tout $f \in I \cap J$, donc en particulier pour tout $f \in I$ et $g \in J$ le produit $fg$ s’annule en $P$, ainsi $P \in V(IJ)$. D’où $V(IJ) = V(I \cap J) = V(I) \cup V(J)$.

$V(I) \cap V(J)$ correspond aux points où tout élément de $I$ et tout élément de $J$ s’annulent, donc tout élément de $I+J$ s’annule : $V(I) \cap V(J) \subseteq V(I+J)$. Réciproquement, si $P \in V(I+J)$ alors $P \in V(I)$ et $P \in V(J)$ par définition de $I+J$, donc $P \in V(I) \cap V(J)$.

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Preuve de l’équivalence de la correspondance (Théorème 1, sens géométrie → algèbre)

Preuve : Soit $X = V(I)$ un ensemble algébrique affine. On définit $I(X) = \{ f \in k[X_1,\dots,X_n] \mid f(P)=0 \text{ pour tout } P \in X \}$. C’est un idéal de $k[X_1,\dots,X_n]$. On a toujours $I \subseteq I(V(I))$ car si $f \in I$ alors $f$ s’annule sur $V(I)$. Cependant, pour $X$ arbitraire, on peut avoir $I(X)$ strictement plus grand que l’idéal initial. La beauté du théorème est que $\sqrt{I} = I(V(I))$. Ceci découle du Nullstellensatz de Hilbert, pierre angulaire de la géométrie algébrique classique.

$\blacksquare$

Exemples approfondis et contre-exemples

Exemple 1 : Un ensemble non irréductible

Soit $X = V(XY) \subset \mathbb{A}^2_\mathbb{C}$. C’est la réunion de deux droites : $X = V(X) \cup V(Y)$. Chaque droite $V(X)$ et $V(Y)$ est irréductible (isomorphe à $\mathbb{A}^1$). Mais $X$ n’est pas irréductible car $X = (V(X) \cap X) \cup (V(Y) \cap X)$ est une union de deux sous-variétés strictes non vides.

Exemple 2 : Un idéal non radical

Soit $I = (X^2) \subset \mathbb{C}[X]$. Alors $V(I) = V(X)$ car $X^2(P)=0 \iff X(P)=0$. On a $\sqrt{I} = (X)$. Donc $I \subsetneq I(V(I))$. Cela illustre que pour obtenir la bijection parfaite, il faut travailler modulo la racinale.

Contre-exemple : Un ensemble algébrique non fermé dans la topologie de Zariski ?

La topologie de Zariski sur $\mathbb{A}^n_k$ a pour fermés exactement les ensembles algébriques affines. Donc par définition, tout ensemble algébrique affine est fermé. Il n’existe pas de contre-exemple : c’est une définition équivalente. En revanche, on peut avoir des fermés de Zariski non irréductibles (voir Exemple 1).

Exemple 3 : Une variété singulière

$V(Y^2 – X^3) \subset \mathbb{A}^2_\mathbb{C}$ est une courbe algébrique irréductible (c’est une cubique nodal). En $(0,0)$, la tangente n’est pas bien définie : c’est un point singulier. Cela montre qu’un ensemble algébrique affine irréductible peut avoir des singularités, ce qui le distingue d’une variété lisse.

Applications et perspectives

La théorie des ensembles algébriques affines est le socle de la géométrie algébrique classique. Elle permet de traduire des problèmes géométriques en algèbre commutative (étude des idéaux, des anneaux de coordonnées). Ces concepts sont étendus en géométrie algébrique moderne via les schémas.

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