Ensembles Nulle Part Denses
La notion d’ensemble « nulle part dense » formalise l’idée d’un ensemble qui est « petit » ou « maigre » d’un point de vue topologique. Contrairement à un ensemble dense qui remplit l’espace, un ensemble nulle part dense ne remplit substantiellement aucune région, aussi petite soit-elle.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $A$ une partie de $X$.
On dit que $A$ est nulle part dense dans $X$ si l’intérieur de son adhérence est vide. $$ \mathring{(\bar{A})} = \emptyset $$
Remarque importante
Il ne faut pas confondre « être d’intérieur vide » et « être nulle part dense ».
- Un ensemble est d’intérieur vide si $\mathring{A} = \emptyset$.
- Un ensemble est nulle part dense si $\mathring{(\bar{A})} = \emptyset$.
Puisque $A \subseteq \bar{A}$, on a $\mathring{A} \subseteq \mathring{(\bar{A})}$. Donc, si un ensemble est nulle part dense, il est forcément d’intérieur vide. La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple de $\mathbb{Q}$.
Une partie $A$ est nulle part dense si et seulement si pour tout ouvert non vide $U \subset X$, il existe un ouvert non vide $V \subset U$ tel que $V \cap A = \emptyset$.
Autrement dit, aussi petite que soit la « fenêtre » ouverte $U$ que l’on considère, on peut toujours trouver à l’intérieur une « sous-fenêtre » ouverte $V$ qui évite complètement $A$.
Exemples et Contre-exemples
- L’ensemble $\mathbb{Z}$ est nulle part dense dans $\mathbb{R}$. Son adhérence est $\bar{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}$. L’intérieur de $\mathbb{Z}$ est vide, $\mathring{(\bar{\mathbb{Z}})} = \mathring{\mathbb{Z}} = \emptyset$.
- Tout ensemble fini de points dans $\mathbb{R}^n$ est nulle part dense. Son adhérence est lui-même (un ensemble de points isolés), et son intérieur est vide.
- L’ensemble de Cantor est nulle part dense dans $\mathbb{R}$. C’est un exemple célèbre d’ensemble non dénombrable mais topologiquement « petit ».
- Contre-exemple : $\mathbb{Q}$ n’est PAS nulle part dense dans $\mathbb{R}$. $\mathbb{Q}$ est bien d’intérieur vide ($\mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset$). Cependant, son adhérence est $\bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$. L’intérieur de son adhérence est donc $\mathring{(\bar{\mathbb{Q}})} = \mathring{\mathbb{R}} = \mathbb{R}$, ce qui n’est pas vide.