Ensembles Ouverts et Fermés de $\mathbb{R}^n$
Grâce à la notion de distance, nous pouvons maintenant définir rigoureusement ce que signifie pour un point d’être « à l’intérieur » d’un ensemble ou sur sa « frontière ». Ces idées sont formalisées par les concepts d’ensembles ouverts et d’ensembles fermés, qui sont les briques de base de la topologie. Grâce au théorème d’équivalence des normes, ces définitions ne dépendent pas de la norme choisie.
1. Boules Ouvertes et Fermées
Avant de définir les ouverts et les fermés, nous avons besoin d’un objet fondamental : la boule, qui généralise la notion d’intervalle ouvert ou fermé de $\mathbb{R}$.
Soit $(E, \| \cdot \|)$ un espace vectoriel normé (par exemple $\mathbb{R}^n$), $a \in E$ un point et $r > 0$ un rayon.
- La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points dont la distance à $a$ est strictement inférieure à $r$ : $$ B(a, r) = \{ x \in E \mid \|x – a\| < r \} $$
- La boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points dont la distance à $a$ est inférieure ou égale à $r$ : $$ B_f(a, r) = \{ x \in E \mid \|x – a\| \le r \} $$
2. Ensembles Ouverts
Un ensemble ouvert est un ensemble qui ne contient aucun point de sa « frontière ». Chaque point d’un ouvert est entouré par d’autres points de l’ensemble.
Un sous-ensemble $U \subset \mathbb{R}^n$ est dit ouvert si, pour tout point $x \in U$, il existe un rayon $r > 0$ tel que la boule ouverte $B(x, r)$ soit entièrement incluse dans $U$. $$ \forall x \in U, \exists r > 0, B(x, r) \subset U $$
Exemples et Contre-exemples
- Sont ouverts : $\mathbb{R}^n$, l’ensemble vide $\emptyset$, toute boule ouverte, un produit d’intervalles ouverts comme $]0,1[ \times ]0,1[$ dans $\mathbb{R}^2$.
- Ne sont pas ouverts : Un segment $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ (le point 1 n’a pas de boule ouverte incluse dans le segment), un singleton $\{a\}$, une droite dans $\mathbb{R}^2$, une boule fermée.
3. Ensembles Fermés
Un ensemble fermé est, par définition, le complémentaire d’un ouvert. De manière intuitive, c’est un ensemble qui contient tous ses « points limites ».
Un sous-ensemble $F \subset \mathbb{R}^n$ est dit fermé si son complémentaire $\mathbb{R}^n \setminus F$ est un ensemble ouvert.
Une propriété équivalente et très utile est la suivante : un ensemble $F$ est fermé si et seulement si pour toute suite $(x_k)_{k \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $F$ qui converge vers une limite $L \in \mathbb{R}^n$, cette limite $L$ appartient aussi à $F$.
« Un ensemble est fermé s’il contient les limites de toutes ses suites convergentes. »
Exemples et Contre-exemples
- Sont fermés : $\mathbb{R}^n$, l’ensemble vide $\emptyset$, toute boule fermée, un singleton $\{a\}$, une droite dans $\mathbb{R}^2$, un hyperplan.
- Ne sont pas fermés : Une boule ouverte, un intervalle ouvert comme $]0,1[$.
- Attention : Un ensemble peut n’être ni ouvert ni fermé ! Par exemple, l’intervalle $[0, 1[$ dans $\mathbb{R}$.
4. Propriétés Topologiques
Les ouverts et les fermés obéissent à des règles précises concernant les opérations d’union et d’intersection.
- L’ensemble vide $\emptyset$ et l’espace entier $\mathbb{R}^n$ sont ouverts.
- Toute union (finie ou infinie) d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert.
- Toute intersection finie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert.
Attention, une intersection infinie d’ouverts n’est pas forcément ouverte. Par exemple, $\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} \left]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right[ = \{0\}$, qui est un fermé.
- L’ensemble vide $\emptyset$ et l’espace entier $\mathbb{R}^n$ sont fermés.
- Toute intersection (finie ou infinie) d’ensembles fermés est un ensemble fermé.
- Toute union finie d’ensembles fermés est un ensemble fermé.
Attention, une union infinie de fermés n’est pas forcément fermée. Par exemple, $\bigcup_{n \ge 2} \left[\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right] = ]0, 1[$, qui est un ouvert.