Les ensembles ouverts et fermés sont des concepts fondamentaux en topologie et en analyse. Ils permettent de formaliser la notion de voisinage et de définir la continuité dans les espaces métriques.
Ensembles ouverts et fermés
Espace métrique
Soit $(E, d)$ un espace métrique. La distance $d$ induit une topologie naturelle via les boules ouvertes.
Définition formelle : ensemble ouvert
Une partie $U \subseteq E$ est dite ouverte si :
$$ \forall x \in U, \; \exists r > 0 \text{ tel que } B(x, r) \subseteq U, $$
où $B(x, r) = \{ y \in E \mid d(x, y) < r \}$ est la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$.
Définition formelle : ensemble fermé
Une partie $F \subseteq E$ est dite fermée si son complémentaire $E \setminus F$ est ouvert.
Équivalence : $F$ est fermée si elle contient tous ses points d’accumulation. Un point $x \in E$ est point d’accumulation de $A \subseteq E$ si :
$$ \forall r > 0, \; B(x, r) \cap (A \setminus \{x\}) \neq \varnothing. $$
Exemples introductifs dans $\mathbb{R}$
Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle $|x-y|$ :
- $]a, b[$ est ouvert.
- $[a, b]$ est fermé.
- $]a, b]$ n’est ni ouvert ni fermé.
- $\varnothing$ et $\mathbb{R}$ sont à la fois ouverts et fermés.
Théorèmes et propriétés
Propriété 1 (Union d’ouverts). Toute union, même infinie, d’ensembles ouverts est ouverte.
Propriété 2 (Intersection finie d’ouverts). Toute intersection finie d’ensembles ouverts est ouverte.
Propriété 3 (Complémentaire). Le complémentaire d’un ensemble fermé est un ensemble ouvert, et réciproquement.
Propriété 4 (Intersection de fermés). Toute intersection, même infinie, d’ensembles fermés est fermée.
Propriété 5 (Union finie de fermés). Toute union finie d’ensembles fermés est fermée.
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Preuves
Preuve de la Propriété 1
Soit $(U_i)_{i \in I}$ une famille d’ouverts. Prenons $x \in \bigcup_{i \in I} U_i$. Il existe $j \in I$ tel que $x \in U_j$. Comme $U_j$ est ouvert, il existe $r > 0$ avec $B(x, r) \subseteq U_j \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i$. Ainsi, $\bigcup_{i \in I} U_i$ est ouvert. $\blacksquare$
Preuve de la Propriété 2
Soient $U_1, \dots, U_n$ ouverts. Pour $x \in \bigcap_{k=1}^n U_k$, on a $x \in U_k$ pour tout $k$. Donc pour chaque $k$, il existe $r_k > 0$ avec $B(x, r_k) \subseteq U_k$. Posons $r = \min(r_1, \dots, r_n) > 0$. Alors $B(x, r) \subseteq \bigcap_{k=1}^n U_k$. $\blacksquare$
Preuve de la Propriété 3
C’est la définition même : $F$ est fermé si et seulement si $E \setminus F$ est ouvert. $\blacksquare$
Preuve de la Propriété 4
Soit $(F_i)_{i \in I}$ des fermés. Alors $E \setminus F_i$ est ouvert pour tout $i$. D’après la Propriété 1, $\bigcup_{i \in I} (E \setminus F_i)$ est ouvert. Mais $\bigcup_{i \in I} (E \setminus F_i) = E \setminus \bigcap_{i \in I} F_i$. Donc $E \setminus \bigcap_{i \in I} F_i$ est ouvert, ce qui équivaut à dire que $\bigcap_{i \in I} F_i$ est fermé. $\blacksquare$
Preuve de la Propriété 5
Soient $F_1, \dots, F_n$ fermés. Par la Propriété 3, $E \setminus F_k$ est ouvert pour tout $k$. La Propriété 2 assure que $\bigcap_{k=1}^n (E \setminus F_k)$ est ouvert. Or $\bigcap_{k=1}^n (E \setminus F_k) = E \setminus \bigcup_{k=1}^n F_k$. Donc $E \setminus \bigcup_{k=1}^n F_k$ est ouvert, donc $\bigcup_{k=1}^n F_k$ est fermé. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemples dans $\mathbb{R}$
Montrons que $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ n’est ni ouvert ni fermé :
- Non ouvert : tout intervalle $]a, b[$ contient des irrationnels, donc aucun point de $\mathbb{Q}$ n’est intérieur.
- Non fermé : l’adhérence de $\mathbb{Q}$ est $\mathbb{R}$ (car dense), donc $\mathbb{Q} \neq \overline{\mathbb{Q}}$, ainsi $\mathbb{Q}$ ne contient pas tous ses points d’accumulation.
Contre-exemples
Intersection infinie d’ouverts. Soit $U_n = \left] -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right[$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. Chaque $U_n$ est ouvert, mais $\bigcap_{n=1}^\infty U_n = \{0\}$ n’est pas ouvert : pour $r>0$, $B(0, r)$ contient des $x \neq 0$ qui ne sont pas dans tous les $U_n$ dès que $n > 1/r$.
Union infinie de fermés. Soit $F_n = \left[ \frac{1}{n}, 1 \right]$. Chaque $F_n$ est fermé, mais $\bigcup_{n=1}^\infty F_n = \left]0, 1\right]$ n’est pas fermé : $0$ est point d’accumulation non inclus.
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