Une **équation** est une égalité mathématique qui contient une ou plusieurs valeurs inconnues (souvent désignées par $x$).
- Le terme à gauche du signe égal ($=$) est appelé le **premier membre**.
- Le terme à droite du signe égal ($=$) est appelé le **second membre**.
- **Résoudre une équation**, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. Ces valeurs sont les **solutions** de l’équation.
Une équation du premier degré peut toujours se ramener à la forme $ax + b = 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres rationnels.
I. Principes d’Équivalence et Méthode de la Balance
Une équation est semblable à une balance à plateaux. Pour qu’elle reste équilibrée, toute modification effectuée sur un plateau doit être reproduite à l’identique sur l’autre.
On obtient une équation équivalente (qui a les mêmes solutions) si :
- On **ajoute** ou **soustraire** le même nombre aux deux membres de l’équation.
- On **multiplie** ou **divise** par le même nombre **non nul** les deux membres de l’équation.
L’objectif est d’isoler l’inconnue $x$ dans un membre.
En pratique, ajouter ou soustraire le même terme revient à déplacer un terme d’un membre à l’autre en **changeant son signe**.
Exemple : $x + 5 = 10 \iff x = 10 – 5$ (Le $+5$ passe à droite en $-5$).
II. Résolution des Formes Fondamentales
II.1 Équations de type $x + a = b$ et $x – a = b$
Pour isoler $x$, on annule le terme $a$ en soustrayant $a$ aux deux membres.
$$ x + a = b $$ $$ x = b – a $$Résoudre les équations suivantes :
- $E_1: x + 12 = -3$
- $E_2: x – 4,5 = 9$
1. Équation $E_1$:
$$ x + 12 = -3 $$ $$ x = -3 – 12 $$ $$ x = -15 $$La solution est $-15$.
2. Équation $E_2$:
$$ x – 4,5 = 9 $$ $$ x = 9 + 4,5 $$ $$ x = 13,5 $$La solution est $13,5$.
II.2 Équations de type $ax = b$
Pour isoler $x$, on annule le facteur $a$ en divisant par $a$ les deux membres (car $a \neq 0$).
$$ a x = b $$ $$ x = \frac{b}{a} $$Résoudre les équations suivantes :
- $E_3: 5x = 45$
- $E_4: -4x = 10$
- $E_5: \frac{2}{3}x = 8$
1. Équation $E_3$:
$$ 5x = 45 $$ $$ x = \frac{45}{5} $$ $$ x = 9 $$La solution est $9$.
2. Équation $E_4$:
$$ -4x = 10 $$ $$ x = \frac{10}{-4} $$ $$ x = -2,5 \quad \text{ou} \quad x = – \frac{5}{2} $$La solution est $-2,5$.
3. Équation $E_5$: Multiplier par l’inverse de $\frac{2}{3}$.
$$ \frac{2}{3}x = 8 $$ $$ x = 8 \div \frac{2}{3} = 8 \times \frac{3}{2} $$ $$ x = \frac{24}{2} = 12 $$La solution est $12$.
III. Équations de Type $ax + b = c$ et $ax + b = cx + d$
III.1 Équations à deux étapes ($ax + b = c$)
On résout ce type d’équation en deux étapes :
- **Isoler le terme en $x$** (en déplaçant $b$ dans l’autre membre). On obtient $ax = c – b$.
- **Isoler $x$** (en divisant par $a$). On obtient $x = \frac{c-b}{a}$.
Résoudre l’équation : $$ E_6: 7x – 9 = 19 $$
La solution est $4$.
III.2 Équations avec l’inconnue dans les deux membres ($ax + b = cx + d$)
La méthode est de regrouper tous les termes en $x$ dans un membre (traditionnellement à gauche) et tous les nombres constants dans l’autre membre (à droite).
N’oubliez pas de changer le signe de chaque terme lors de son déplacement !
Résoudre l’équation : $$ E_7: 5x – 8 = 2x + 13 $$
La solution est $7$.
IV. Résolution de Problèmes par Mise en Équation
Transformer un problème de la vie courante en une équation se fait en quatre étapes obligatoires :
- **Choix de l’inconnue :** Définir clairement ce que représente $x$.
- **Mise en équation :** Traduire les informations du problème par une égalité mathématique.
- **Résolution :** Résoudre l’équation pour trouver la valeur de $x$.
- **Vérification et conclusion :** Vérifier que la solution est cohérente avec le problème et répondre clairement à la question posée.
Le périmètre d’un rectangle est de $38 \text{ cm}$. On sait que la longueur mesure $5 \text{ cm}$ de plus que la largeur. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
1. Choix de l’inconnue :
Soit $x$ la largeur du rectangle (en cm).
Alors la longueur est $x + 5$ (en cm).
2. Mise en équation :
Le périmètre $P$ est donné par la formule $P = 2 \times (\text{Longueur} + \text{Largeur})$.
$$ 2 \times (x + (x + 5)) = 38 $$3. Résolution :
$$ 2 \times (2x + 5) = 38 $$ $$ 4x + 10 = 38 \quad (\text{Développement})$$ $$ 4x = 38 – 10 $$ $$ 4x = 28 $$ $$ x = \frac{28}{4} $$ $$ x = 7 $$4. Vérification et conclusion :
Largeur $x = 7 \text{ cm}$.
Longueur $x + 5 = 7 + 5 = 12 \text{ cm}$.
Périmètre $P = 2 \times (7 + 12) = 2 \times 19 = 38 \text{ cm}$. La solution est correcte.
Conclusion : Les dimensions du rectangle sont $7 \text{ cm}$ de largeur et $12 \text{ cm}$ de longueur.