Espace de Lobatchevski : Définition et construction rigoureuse
L’Espace de Lobatchevski, noté \(\mathbb{H}^n\), est le prototype de variété riemannienne de courbure sectionnelle constante négative \(-1\). Sa construction repose sur un changement de métrique dans le modèle de la demi-supérieure.
Définition formelle via le modèle de la demi-supérieure
On considère l’ouvert \(\mathbb{H}^n = \{ (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_n > 0 \}\) muni de la métrique riemannienne :
$$ds^2 = \frac{dx_1^2 + \dots + dx_{n-1}^2 + dx_n^2}{x_n^2}$$
Cette expression définit un tenseur métrique \(g_{ij} = \frac{\delta_{ij}}{x_n^2}\) en chaque point.
Modèle de la disque de Poincaré
L’espace est conforme équivalent au disque unité \( \mathbb{D}^n = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\| < 1\} \) via la bijection :
$$\phi : \mathbb{D}^n \to \mathbb{H}^n, \quad \phi(x) = \left( \frac{2x_1}{1-\|x\|^2}, \dots, \frac{2x_{n-1}}{1-\|x\|^2}, \frac{1+\|x\|^2}{1-\|x\|^2} \right)$$
La métrique induite est \( ds^2 = \frac{4 \|dx\|^2}{(1-\|x\|^2)^2} \).
Propriétés géodésiques et isométries
Théorème : Existence et unicité des géodésiques
Les géodésiques de \(\mathbb{H}^n\) sont les courbes minimisant localement la longueur. Dans le modèle demi-supérieure, ce sont :
- Les demi-droites perpendiculaires à l’hyperplan \(x_n=0\).
- Les demi-cercles orthogonaux à \(x_n=0\).
Preuve : Calcul des équations géodésiques
Les équations géodésiques \( \frac{d^2x^k}{dt^2} + \Gamma_{ij}^k \frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt} = 0 \) s’obtiennent via les symboles de Christoffel. Pour \(g_{ij} = \delta_{ij}/x_n^2\), on calcule :
$$\Gamma_{ij}^k = \begin{cases}
-\frac{\delta_{ik}}{x_n} & \text{si } j = n \text{ ou } i = n, k \neq n \\
0 & \text{sinon}
\end{cases} \quad \text{pour } k \neq n$$
$$\Gamma_{nn}^n = -\frac{1}{x_n}$$
En résolvant le système pour \(x_n\), on obtient \(x_n(t) = a t + b\) (droite) ou \(x_n(t) = \sqrt{c^2 – (x_1-\alpha)^2}\) (cercle). \(\square\)
Isométries et groupe d’isométries
Le groupe d’isométries de \(\mathbb{H}^n\) est \(O^+(n,1)\) agissant transitivement. Les translations horizontales et les dilatations verticales sont des isométries.
Contre-exemple : Une homothétie euclidienne \(x \mapsto \lambda x\) (\(\lambda \neq 1\)) n’est pas une isométrie car elle altère la métrique conforme.
Métrique et courbure
Formule de la distance dans \(\mathbb{H}^2\)
Pour deux points \(z_1 = x_1 + iy_1\), \(z_2 = x_2 + iy_2\) dans le modèle demi-plan, la distance hyperbolique est :
$$d_{\mathbb{H}}(z_1, z_2) = \operatorname{arcosh}\left(1 + \frac{|z_1 – z_2|^2}{2 y_1 y_2}\right)$$
On peut l’écrire via la norme du vecteur différence dans \(\mathbb{R}^{2,1}\).
Théorème : Courbure sectionnelle constante
La courbure de Riemann de \(\mathbb{H}^n\) vaut \(-1\) en tout point. Cela découle du calcul des coefficients de Ricci :
$$R_{ij} = -(n-1) g_{ij}$$
d’où \( \operatorname{Ric} = -(n-1)g\) et \(K = -1\) par division par \(\frac{n-1}{2}\).
Exemples concrets et applications
Exemple : Calcul de distance entre deux points alignés verticalement
Soient \(A = (0, a)\) et \(B = (0, b)\) dans \(\mathbb{H}^2\) avec \(0 $$d_{\mathbb{H}}(A,B) = \int_a^b \frac{dx_2}{x_2} = \ln\frac{b}{a}$$
Contre-exemple : Non-équivalence des distances euclidienne et hyperbolique
La suite \(x_n = (0, e^n)\) diverge euclidiennement mais reste à distance finie de l’origine \(O=(0,1)\) :
$$d_{\mathbb{H}}(O, x_n) = \ln(e^n) = n \to +\infty$$
Ainsi \(\mathbb{H}^2\) n’est pas complète pour la métrique euclidienne.
Ressources pédagogiques et approfondissement
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Synthèse des propriétés distinctives
L’Espace de Lobatchevski diffère fundamentally d’Euclide : la somme des angles d’un triangle est \(<\pi\), les parallèles existent en infinité, et les triangles ont une aire bornée par \(\pi\) (pour \(\mathbb{H}^2\)). Ces propriétés découlent directement de la courbure négative.