L’Espace des Fonctions Continues
L’analyse fonctionnelle étudie les espaces dont les « points » sont en réalité des fonctions. L’un des exemples les plus fondamentaux est l’espace des fonctions continues sur un segment, qui peut être muni d’une structure d’espace métrique complet, ouvrant la voie à de nombreux théorèmes puissants.
On note $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$ l’ensemble de toutes les fonctions $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ qui sont continues sur le segment $[a, b]$.
C’est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ pour les opérations usuelles d’addition de fonctions et de multiplication par un scalaire.
On peut munir cet espace d’une distance, appelée distance de la convergence uniforme (ou norme infinie), définie par : $$d_\infty(f, g) = \|f – g\|_\infty = \sup_{x \in [a, b]} |f(x) – g(x)|$$ La fonction $f-g$ étant continue sur un compact, elle est bornée et atteint ses bornes, donc le supremum est bien un maximum.
L’espace $(\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R}), d_\infty)$ est un espace métrique complet.
Puisqu’il est également un espace vectoriel normé, on dit que c’est un espace de Banach. Ce résultat est crucial car il signifie que toute suite de fonctions continues qui est de Cauchy pour la norme infinie converge vers une fonction qui est elle-même continue.
Propriétés Topologiques
Cet espace, bien que complet, a des propriétés très différentes de celles de $\mathbb{R}^n$. C’est un espace de dimension infinie.
- Non-compacité : La boule unité fermée de $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$, bien qu’elle soit fermée et bornée, n’est pas compacte. Le théorème de Heine-Borel ne s’applique pas en dimension infinie.
- Théorème d’Ascoli : Il existe une caractérisation des parties compactes de cet espace (le théorème d’Ascoli), qui requiert une condition supplémentaire appelée l’équicontinuité.