L’Espace projectif constitue l’extension naturelle de l’espace affine, permettant d’unifier la géométrie en ajoutant des points à l’infini pour éliminer les cas particuliers de parallélisme. Cette structure fondamentale repose sur la théorie des espaces vectoriels et les classes d’équivalence de vecteurs non nuls.
Définition formelle par quotient vectoriel
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n+1$ sur un corps commutatif $\mathbb{K}$. L’espace projectif associé, noté $\mathbb{P}(E)$ ou $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$, est défini comme l’ensemble des droites vectorielles de $E$ passant par l’origine.
Formellement, on introduit la relation d’équivalence $\mathcal{R}$ sur $E \setminus \{\vec{0}\}$ définie par la colinéarité :
$$ \vec{u} \mathcal{R} \vec{v} \iff \exists \lambda \in \mathbb{K}^*, \quad \vec{u} = \lambda \vec{v} $$L’espace projectif est alors l’ensemble quotient :
$$ \mathbb{P}(E) = (E \setminus \{\vec{0}\}) / \mathcal{R} $$Un point $M \in \mathbb{P}(E)$ est donc une classe d’équivalence $[\vec{u}] = \{ \lambda \vec{u} \mid \lambda \in \mathbb{K}^* \}$. La dimension de l’espace projectif est définie comme $\dim(\mathbb{P}(E)) = \dim(E) – 1 = n$.
Notation et coordonnées homogènes
Si $(e_0, e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$, tout vecteur $\vec{u} \in E \setminus \{\vec{0}\}$ s’écrit $\vec{u} = x_0 e_0 + \dots + x_n e_n$. Les scalaires $(x_0, x_1, \dots, x_n)$ sont appelés coordonnées homogènes du point projectif $M = [\vec{u}]$.
On note usuellement :
$$ M = [x_0 : x_1 : \dots : x_n] $$Ces coordonnées ne sont définies qu’à un facteur multiplicatif non nul près. Ainsi, $[x_0 : \dots : x_n] = [\lambda x_0 : \dots : \lambda x_n]$ pour tout $\lambda \neq 0$. Le vecteur nul n’a pas de représentant dans l’espace projectif.
Structure de l’Espace projectif et plongement affine
L’intérêt majeur de l’Espace projectif réside dans sa capacité à contenir l’espace affine comme sous-ensemble ouvert dense, complété par un hyperplan à l’infini.
Cartes affines et déshomogénéisation
Considérons l’ensemble des points dont la première coordonnée homogène est non nulle : $U_0 = \{ [x_0 : \dots : x_n] \mid x_0 \neq 0 \}$. Par homogénéité, on peut normaliser cette coordonnée à 1.
L’application $\phi_0 : U_0 \to \mathbb{K}^n$ définie par :
$$ \phi_0([x_0 : x_1 : \dots : x_n]) = \left( \frac{x_1}{x_0}, \dots, \frac{x_n}{x_0} \right) $$est une bijection qui identifie $U_0$ à l’espace affine $\mathbb{A}^n(\mathbb{K})$. Les coordonnées $(X_1, \dots, X_n)$ obtenues sont les coordonnées affines standards.
Ce processus, appelé déshomogénéisation, permet de retrouver la géométrie usuelle. Inversement, l’homogénéisation permet de plonger $\mathbb{A}^n$ dans $\mathbb{P}^n$ via $(X_1, \dots, X_n) \mapsto [1 : X_1 : \dots : X_n]$.
L’hyperplan à l’infini
Le complémentaire de $U_0$ dans $\mathbb{P}^n$ est l’ensemble des points tels que $x_0 = 0$. Cet ensemble forme un sous-espace projectif de dimension $n-1$, noté $H_\infty$.
$$ H_\infty = \{ [0 : x_1 : \dots : x_n] \mid (x_1, \dots, x_n) \neq (0, \dots, 0) \} $$Géométriquement, $H_\infty$ représente les directions de l’espace affine. Deux droites affines parallèles possèdent la même direction vectorielle et se coupent donc en un unique point de $H_\infty$.
Ainsi, dans l’Espace projectif, deux droites distinctes d’un plan se coupent toujours en exactement un point, supprimant l’exception du parallélisme.
Sous-espaces projectifs et incidence
La géométrie projective simplifie considérablement les théorèmes d’incidence grâce à la dualité et à la structure linéaire sous-jacente.
Définition par sous-espaces vectoriels
Un sous-espace projectif de $\mathbb{P}(E)$ est l’image dans le quotient d’un sous-espace vectoriel $F \subseteq E$. Si $\dim(F) = k+1$, alors la dimension du sous-espace projectif associé est $k$.
Les cas fondamentaux sont :
- $k=0$ : Un point (droite vectorielle).
- $k=1$ : Une droite projective (plan vectoriel).
- $k=n-1$ : Un hyperplan projectif (hyperplan vectoriel).
L’intersection de deux sous-espaces projectifs est toujours un sous-espace projectif. Contrairement au cas affine, l’intersection n’est jamais vide si la somme des dimensions est suffisante.
Théorème de la dimension projective
Soient $A$ et $B$ deux sous-espaces projectifs de $\mathbb{P}^n$. La formule de Grassmann adaptée s’écrit :
$$ \dim(A \cap B) = \dim(A) + \dim(B) – \dim(\text{Vect}(A \cup B)) $$Puisque $\text{Vect}(A \cup B) \subseteq \mathbb{P}^n$, on a $\dim(\text{Vect}(A \cup B)) \leq n$. On en déduit l’inégalité fondamentale :
$$ \dim(A \cap B) \geq \dim(A) + \dim(B) – n $$Corollaire immédiat : Dans le plan projectif ($n=2$), deux droites ($\dim=1$) vérifient $\dim(A \cap B) \geq 1+1-2 = 0$. Elles ont donc au moins un point commun.
Repères projectifs et théorème fondamental
La notion de repère en géométrie projective diffère de celle de l’algèbre linéaire classique car elle doit être invariante par homothétie sur les vecteurs de base.
Définition d’un repère projectif
Un repère projectif de $\mathbb{P}^n$ est constitué de $n+2$ points $(M_0, M_1, \dots, M_n, U)$ tels que toute famille de $n+1$ points parmi eux soit projectivement libre (les vecteurs représentants forment une base de $E$).
Le point $U$ est appelé point unité. Dans un tel repère, les coordonnées des points de base sont canoniques :
$$ M_i = [0:\dots:1:\dots:0] \quad (\text{1 à la position } i) $$ $$ U = [1:1:\dots:1] $$Cette configuration fixe entièrement le système de coordonnées homogènes à un isomorphisme près.
Théorème fondamental de la géométrie projective
Ce théorème établit l’existence et l’unicité des transformations projectives (homographies) mapant un repère sur un autre.
Énoncé : Soient $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}’$ deux repères projectifs de $\mathbb{P}^n$. Il existe une unique homographie $f : \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ telle que $f(\mathcal{R}) = \mathcal{R}’$.
Preuve : Soient $(\vec{e}_0, \dots, \vec{e}_n)$ et $\vec{u} = \sum \vec{e}_i$ les vecteurs représentants $\mathcal{R}$, et $(\vec{e}’_0, \dots, \vec{e}’_n)$, $\vec{u}’ = \sum \lambda_i \vec{e}’_i$ ceux de $\mathcal{R}’$.
Il existe un unique automorphisme linéaire $\tilde{f} \in GL(E)$ envoyant $\vec{e}_i$ sur $\lambda_i \vec{e}’_i$ (après ajustement des facteurs d’échelle pour que l’image de $\vec{u}$ soit proportionnelle à $\vec{u}’$).
L’application projective induite $f = P(\tilde{f})$ satisfait les conditions. L’unicité découle de l’unicité de l’application linéaire à un scalaire près, ce qui est précisément la définition de l’égalité dans $\mathbb{P}(E)$. $\blacksquare$
Exemples concrets et visualisation
Illustrons ces concepts abstraits par des exemples en dimensions faibles, où la visualisation géométrique reste accessible.
La droite projective réelle $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$
La droite projective réelle est construite à partir d’un plan vectoriel $\mathbb{R}^2$. Ses points sont les droites passant par l’origine dans ce plan.
Elle s’identifie topologiquement à un cercle $S^1$. Analytiquement, on ajoute un seul point à l’infini à la droite affine $\mathbb{R}$ :
$$ \mathbb{P}^1(\mathbb{R}) = \mathbb{R} \cup \{\infty\} $$Les coordonnées homogènes sont $[x:y]$. Si $y \neq 0$, le point correspond au réel $x/y$. Si $y=0$, le point est $[1:0]$, c’est le point à l’infini unique.
Cette structure permet de définir le birapport, invariant fondamental conservé par les homographies de la droite.
Le plan projectif réel $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$
Le plan projectif réel est l’ensemble des droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$. Topologiquement, c’est une sphère $S^2$ où les points antipodaux sont identifiés ($x \sim -x$).
Une droite dans $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ correspond à un plan vectoriel dans $\mathbb{R}^3$. Deux plans vectoriels distincts dans $\mathbb{R}^3$ s’intersectent toujours selon une droite vectorielle.
Par conséquent, deux droites projectives distinctes se coupent toujours en un point unique. Si les droites affines correspondantes sont parallèles, leur point d’intersection appartient à la droite à l’infini $z=0$.
Contre-exemple : Confusion avec l’espace affine
Il est erroné de considérer l’Espace projectif comme un espace métrique naturel. La notion de distance euclidienne n’est pas préservée par les homographies générales.
Par exemple, une homographie peut envoyer un segment fini sur une demi-droite infinie ou modifier les rapports de longueurs simples (seul le birapport de quatre points est conservé).
Tenter d’appliquer le théorème de Pythagore directement dans $\mathbb{P}^n$ sans définir une métrique spécifique (comme la métrique de Fubini-Study sur $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$) conduit à des absurdités géométriques.
Dualité projective
Une propriété distinctive de l’Espace projectif est le principe de dualité, qui échange les rôles des points et des hyperplans.
L’espace dual projectif
Soit $E^*$ le dual vectoriel de $E$. L’espace projectif dual $\mathbb{P}(E^*)$ est l’ensemble des hyperplans de $\mathbb{P}(E)$.
Un point de $\mathbb{P}(E^*)$ (qui est un hyperplan dans $\mathbb{P}(E)$) a pour équation dans un repère donné :
$$ u_0 x_0 + u_1 x_1 + \dots + u_n x_n = 0 $$Les coefficients $(u_0, \dots, u_n)$ constituent les coordonnées tangentielles ou coordonnées duales de l’hyperplan.
Tout théorème vrai dans $\mathbb{P}(E)$ concernant l’incidence de points et d’hyperplans reste vrai si l’on permute les mots « point » et « hyperplan », « alignés » et « concourants ».
Application : Dualité dans le plan
Dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$, la dualité échange points et droites. Le théorème « Deux points distincts déterminent une unique droite » devient « Deux droites distinctes déterminent un unique point d’intersection ».
Ce principe simplifie drastiquement les démonstrations. Prouver un théorème implique automatiquement la validité de son théorème dual sans calcul supplémentaire.
Conclusion sur l’Espace projectif
L’Espace projectif offre le cadre le plus élégant pour la géométrie, unifiant les cas affines et éliminant les exceptions liées au parallélisme. Sa définition par quotient vectoriel assure une cohérence algébrique parfaite.
Maîtriser les coordonnées homogènes, les repères projectifs et le principe de dualité est indispensable pour aborder la géométrie algébrique, la vision par ordinateur et la physique théorique moderne.