Le concept d’espace tangent est fondamental en géométrie différentielle, permettant de généraliser la notion de plan tangent aux variétés de dimension supérieure. Il fournit un cadre linéaire local pour étudier les propriétés infinitésimales d’une variété différentiable.

Définition formelle de l’espace tangent

Définition via les courbes paramétrées

Soit $M$ une variété différentiable de classe $C^k$ ($k \geq 1$) et de dimension $n$. En un point $p \in M$, l’espace tangent $T_pM$ est l’ensemble des classes d’équivalence de courbes différentiables $\gamma : ]-\varepsilon, \varepsilon[ \to M$ telles que $\gamma(0) = p$, où deux courbes $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont équivalentes si, pour une (et donc toute) carte locale $(U, \varphi)$ autour de $p$, on a :

$\frac{d}{dt}(\varphi \circ \gamma_1)(0) = \frac{d}{dt}(\varphi \circ \gamma_2)(0) \in \mathbb{R}^n$.

La classe d’équivalence d’une courbe $\gamma$ est notée $[\gamma]_p$. L’espace tangent $T_pM$ est muni d’une structure d’espace vectoriel de dimension $n$ par :

$a \cdot [\gamma]_p + b \cdot [\delta]_p := [t \mapsto \varphi^{-1}(\varphi(p) + a \cdot \frac{d}{dt}(\varphi \circ \gamma)(0) + b \cdot \frac{d}{dt}(\varphi \circ \delta)(0))]_p$.

Cette définition ne dépend pas du choix de la carte $(U, \varphi)$.

Définition via les dérivées directionnelles

Alternativement, pour une fonction $f : M \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ en $p$, la dérivée directionnelle de $f$ selon la classe $[\gamma]_p$ est définie par :

$D_{\gamma} f(p) := \frac{d}{dt}(f \circ \gamma)(0)$.

Cette quantité ne dépend que de la classe $[\gamma]_p$. L’application $D_{\gamma} : C^1(M, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ est linéaire. L’espace tangent $T_pM$ peut être identifié à l’ensemble des dérivations en $p$, c’est-à-dire des applications linéaires $X : C^1(M, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ satisfaisant la règle de Leibniz : $X(fg) = f(p) \cdot X(g) + g(p) \cdot X(f)$.

Théorèmes fondamentaux

Dimension de l’espace tangent

Théorème : Si $M$ est une variété différentiable de dimension $n$, alors pour tout point $p \in M$, l’espace tangent $T_pM$ est un espace vectoriel de dimension $n$.

Preuve : Soit $(U, \varphi)$ une carte locale centrée en $p$ ($\varphi(p)=0$). Considérons les $n$ courbes standards $\gamma_i(t) = \varphi^{-1}(t e_i)$ pour $i=1,\dots,n$, où $(e_1,\dots,e_n)$ est la base canonique de $\mathbb{R}^n$. On montre que les classes $[\gamma_i]_p$ forment une base de $T_pM$. Pour toute courbe $\gamma$, la classe $[\gamma]_p$ s’exrime comme combinaison linéaire des $[\gamma_i]_p$ via les dérivées des coordonnées. La dépendance au choix de la carte est compensée par la formule de changement de base. Par conséquent, $\dim T_pM = n$. $lacksquare$

Application différentielle et espace tangent

Théorème : Soit $F : M \to N$ une application différentiable entre variétés. Pour tout $p \in M$, il existe une application linéaire bien définie, appelée différentielle ou application tangente :

$dF_p : T_pM \to T_{F(p)}N$

définie par $dF_p([\gamma]_p) := [F \circ \gamma]_{F(p)}$.

Preuve : Il faut vérifier que $dF_p$ est bien définie (indépendante du représentant $\gamma$) et linéaire. La indépendance découle de la définition équivalente via les dérivées directionnelles : si $f \in C^1(N, \mathbb{R})$, alors $D_{F\circ\gamma}(f) = D_{\gamma}(f \circ F)$, ce qui montre que l’application $[\gamma]_p \mapsto (f \mapsto D_{\gamma}(f \circ F))$ est bien définie et linéaire en $[\gamma]_p$. $lacksquare$

Exemples et contre-exemples

Exemple : espace tangent à la sphère

Considérons la sphère unité $S^n = \{ x \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \|x\| = 1 \}$ en un point $p \in S^n$. Une courbe $\gamma$ sur $S^n$ vérifie $\|\gamma(t)\|^2 = 1$. En dérivant en $t=0$, on obtient $\langle \gamma'(0), p \rangle = 0$. Ainsi, $T_pS^n$ s’identifie naturellement au sous-espace orthogonal de $\mathbb{R}^{n+1}$ :

$T_pS^n = \{ v \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \langle v, p \rangle = 0 \}$.

Sa dimension est bien $n$. Si $F(x)=\|x\|^2$, alors $dF_p(v)=2\langle v, p \rangle$, et $T_pS^n = \ker dF_p$.

Contre-exemple : point singulier

Prenez la courbe définie par $y^2 = x^3$ dans $\mathbb{R}^2$ en l’origine $(0,0)$. Cette courbe n’est pas une variété différentiable en $(0,0)$ car elle n’admet pas de carte locale homéomorphe à un intervalle. L’espace tangent au sens des courbes paramétrées n’est pas bien défini : toute droite de la forme $y = a x^{3/2}$ (ou $x=0$) peut être approchée, mais il n’y a pas d’unique direction limite. En revanche, en tout point $(x,y) \neq (0,0)$, la courbe est une variété de dimension 1 et $T_pM$ est la droite tangente usuellenbsp;: pour $(x_0,y_0)$ avec $y_0 \neq 0$, la pente est $\frac{dy}{dx} = \frac{3x_0}{2y_0}$.

Pour approfondir

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