Espaces connexes : Définition et propriétés fondamentales
La notion de connexité est un concept topologique central qui formalise l’idée d’unicum ou de continuité géométrique d’un ensemble. Un espace topologique connexe ne peut être partitionné en deux ouverts non vides disjoints.
Définition formelle
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. On dit que $X$ est connexe si les seuls sous-ensembles de $X$ qui sont à la fois ouverts et fermés (ouverts-fermés) sont $\varnothing$ et $X$ lui-même.
Équivalemment, $X$ est connexe s’il n’existe pas une séparation de $X$, c’est-à-dire deux ouverts non vides $U$ et $V$ de $X$ tels que :
$$ X = U \cup V \quad \text{et} \quad U \cap V = \varnothing $$
Théorème : Caractérisation par les chemins
Un espace topologique $X$ est dit connexe par arcs (ou chemin-connexe) si pour tout couple de points $x, y \in X$, il existe une application continue $\gamma : [0,1] \to X$ (un chemin) telle que $\gamma(0) = x$ et $\gamma(1) = y$.
Proposition : La connexité par arcs implique la connexité. La réciproque est fausse en général.
Preuve de l’implication
Supposons que $X$ est connexe par arcs. Montrons qu’il n’existe pas de séparation. Raisonnons par l’absurde. S’il existait deux ouverts non vides disjoints $U$ et $V$ tels que $X = U \cup V$, prenons $x \in U$ et $y \in V$. Par connexité par arcs, il existe un chemin $\gamma$ de $x$ à $y$. L’image $\gamma([0,1])$ est un connexe de $X$ (comme image continue d’un connexe). Or $\gamma([0,1]) \subseteq U \cup V$ et $\gamma([0,1])$ rencontre $U$ (en $x$) et $V$ (en $y$). Comme $U$ et $V$ sont séparés, cela contredit la connexité de $\gamma([0,1])$. Donc une telle séparation ne peut exister. $X$ est connexe. ⊓
Exemples et contre-exemples
- Exemple 1 (Connexe) : $\mathbb{R}$ muni de la topologie usuelle est connexe. En effet, tout intervalle de $\mathbb{R}$ est connexe, et $\mathbb{R}$ en est un.
- Exemple 2 (Connexe par arcs) : $\mathbb{R}^n$ pour $n \geq 1$ est connexe par arcs. Le chemin $\gamma(t) = (1-t)x + ty$ est continu.
- Contre-exemple (Connexe mais pas par arcs) : Le topologist’s sine curve :
$$ S = \left\{ (x, \sin(1/x)) \mid x \in ]0,1] \right\} \cup \left\{ (0,y) \mid y \in [-1,1] \right\} $$
Cet ensemble dans $\mathbb{R}^2$ est connexe, mais non connexe par arcs. On ne peut relier continûment un point de la verticale $x=0$ à un point de la courbe $x>0$ par un chemin restant dans $S$. - Contre-exemple (Non connexe) : $\mathbb{Q}$ muni de la topologie induite par $\mathbb{R}$ n’est pas connexe. En effet, pour tout irrationnel $\alpha$ (ex: $\sqrt{2}$), les ensembles $U = \mathbb{Q} \cap ]-\infty, \alpha[$ et $V = \mathbb{Q} \cap ]\alpha, \infty[$ sont deux ouverts non vides disjoints de $\mathbb{Q}$ dont la réunion est $\mathbb{Q}$.
Propriétés de stabilité
Théorème : Soient $X$ un espace topologique connexe et $f : X \to Y$ une application continue. Alors l’image $f(X)$ est un sous-espace connexe de $Y$.
Preuve
Supposons que $f(X) = A \cup B$ avec $A$ et $B$ ouverts dans $f(X)$ (donc il existe $U, V$ ouverts dans $Y$ tels que $A = f(X) \cap U$ et $B = f(X) \cap V$). Alors $X = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$. Par continuité de $f$, $f^{-1}(A)$ et $f^{-1}(B)$ sont ouverts dans $X$. Ils sont disjoints car $A \cap B = \varnothing$. Si $X$ est connexe, l’un de ces préimages est nécessairement vide. Supposons $f^{-1}(A) = \varnothing$, alors $A \cap f(X) = \varnothing$, donc $A = \varnothing$. Ainsi, $f(X)$ est connexe. ⊓
Application : Théorème des valeurs intermédiaires
Corollaire : Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Si $f(a) < 0 < f(b)$, alors il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.
Preuve : L’intervalle $[a,b]$ est connexe (et même connexe par arcs). Par le théorème précédent, l’image $f([a,b])$ est un connexe de $\mathbb{R}$, donc un intervalle (car les seuls connexes de $\mathbb{R}$ sont les intervalles). Puisque $f(a) < 0$ et $f(b) > 0$, $0$ appartient à cet intervalle image. $f([a,b])$ contient donc $0$. Il existe donc $c \in [a,b]$ avec $f(c)=0$. Comme $f(a)\neq0$ et $f(b)\neq0$, nécessairement $c \in ]a,b[$. ⊓
Composantes connexes
En général, un espace topologique n’est pas connexe. On peut le décomposer en morceaux maximaux connexes.
Définition
Pour $x \in X$, on définit la composante connexe de $x$ comme l’union de tous les sous-ensembles connexes de $X$ contenant $x$. C’est le plus grand connexe contenant $x$.
Les composantes connexes sont deux à deux disjointes, fermées, et leur réunion est $X$. Elles forment une partition de $X$.
Exemple
Dans $X = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, les composantes connexes sont $]-\infty, 0[$ et $]0, +\infty[$.
Lien avec la connexité par arcs
La composante connexe par arcs de $x$ est l’ensemble des points de $X$ accessables par un chemin depuis $x$. C’est un sous-ensemble inclus dans la composante connexe de $x$, et peut-être strictement plus petit (comme dans le topologist’s sine curve).
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