Définition formelle des espaces hermitiens
Produit scalaire hermitien
Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{C}$. Une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{C}$ est un produit scalaire hermitien si elle satisfait :
- Sesqui-linéarité : Pour tous $x,y,z \in E$ et $\lambda \in \mathbb{C}$ :
- $\langle x+y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle$
- $\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle$
- $\langle x, \lambda y \rangle = \overline{\lambda} \langle x, y \rangle$
- Symétrie hermitienne : $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ pour tous $x,y \in E$.
- Positivité : $\langle x, x \rangle \geqslant 0$ avec égalité si et seulement si $x = 0$.
Espace hermitien
Le couple $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est un espace hermitien. La norme associée est $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.
Théorèmes et propriétés fondamentales
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Pour tous $x,y \in E$ :
$$|\langle x, y \rangle| \leqslant \|x\| \cdot \|y\|$$
L’égalité a lieu si et seulement si $x$ et $y$ sont linéairement dépendants.
Théorème de Gram-Schmidt hermitien
Toute famille libre $(e_1, \dots, e_p)$ d’un espace hermitien peut être orthonormalisée en une famille $(u_1, \dots, u_p)$ orthonormale, en conservant la même direction pour chaque vecteur.
Preuves rigoureuses
Preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit $x,y \in E$ avec $y \neq 0$. On définit $z = x – \frac{\langle x, y \rangle}{\langle y, y \rangle} y$. Calculons $\langle z, z \rangle$ :
\begin{align*}
\langle z, z \rangle &= \langle x, x \rangle – \frac{\langle x, y \rangle}{\langle y, y \rangle} \langle y, x \rangle – \frac{\overline{\langle x, y \rangle}}{\langle y, y \rangle} \langle x, y \rangle + \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\langle y, y \rangle^2} \langle y, y \rangle \\
&= \|x\|^2 – \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|y\|^2} – \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|y\|^2} + \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|y\|^2} \\
&= \|x\|^2 – \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|y\|^2}.
\end{align*}
Par positivité, $\langle z, z \rangle \geqslant 0$, d’où :
$$\|x\|^2 \geqslant \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|y\|^2} \quad \Rightarrow \quad |\langle x, y \rangle| \leqslant \|x\| \|y\|.$$
$\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemple standard : $\mathbb{C}^n$
Sur $\mathbb{C}^n$, le produit scalaire hermitien usuel est :
$$\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}.$$
Vérifions ses propriétés. Sesqui-linéarité : évidente par linéarité de la somme et conjugaison. Symétrie hermitienne :
$$\langle x, y \rangle = \sum x_k \overline{y_k} = \overline{\sum \overline{x_k} y_k} = \overline{\langle y, x \rangle}.$$
Positivité : $\langle x, x \rangle = \sum |x_k|^2 \geqslant 0$, nul si et seulement si tous $x_k = 0$.
Exemple fonctionnel : $L^2([a,b],\mathbb{C})$
L’espace des fonctions complexes mesurables sur $[a,b]$ avec $\int_a^b |f|^2 < \infty$ est muni du produit scalaire :
$$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, dt.$$
Ceci définit un espace hermitien (intégrale de Cauchy-Schwarz : $|\int f \overline{g}| \leqslant \|f\|_2 \|g\|_2$).
Contre-exemple : produit scalaire symétrique non hermitien
Sur $\mathbb{C}^2$, considérons $ \langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 $. Alors :
$$\langle (1,i), (i,1) \rangle = 1\cdot i + i\cdot 1 = 2i, \quad \overline{\langle (i,1), (1,i) \rangle} = \overline{i\cdot1 + 1\cdot i} = \overline{2i} = -2i.$$
Donc $\langle x, y \rangle \neq \overline{\langle y, x \rangle}$ : ce n’est pas hermitien. De plus, $\langle (1,i), (1,i) \rangle = 1 – 1 = 0$ alors que le vecteur est non nul, violant la positivité.
Applications et perspective
Les espaces hermitiens permettent de généraliser l’orthogonalité, la projection orthogonale et les bases orthonormées au cadre complexe. Ils sont indispensables en mécanique quantique (espaces de Hilbert) et en algèbre linéaire avancée.
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