Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel muni d’une forme hermitienne positive $f$. Alors, pour tous vecteurs $x, y \in E$, on a : $$ |f(x,y)|^2 \le f(x,x) f(y,y) $$
Démonstration
Soient $x, y \in E$. Pour tout scalaire $\lambda \in \mathbb{C}$, considérons le vecteur $\lambda x + y$. Puisque la forme $f$ est positive, on a $f(\lambda x + y, \lambda x + y) \ge 0$. En développant par sesquilinéarité, on obtient : $$ \overline{\lambda}\lambda f(x,x) + \overline{\lambda}f(x,y) + \lambda f(y,x) + f(y,y) \ge 0 $$ En utilisant la symétrie hermitienne $f(y,x) = \overline{f(x,y)}$, l’expression devient : $$ |\lambda|^2 f(x,x) + \overline{\lambda}f(x,y) + \lambda\overline{f(x,y)} + f(y,y) \ge 0 $$ $$ |\lambda|^2 f(x,x) + 2Re(\overline{\lambda}f(x,y)) + f(y,y) \ge 0 $$ Cette inégalité doit être vraie pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$. Si $f(x,x)=0$, l’inégalité $2Re(\overline{\lambda}f(x,y)) + f(y,y) \ge 0$ ne peut tenir pour tout $\lambda$ que si $f(x,y)=0$. Dans ce cas, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée ($0 \le 0$).
Si $f(x,x) \neq 0$, on peut choisir une valeur particulière de $\lambda$ qui minimise l’expression. Le choix optimal est $\lambda = -\frac{f(x,y)}{f(x,x)}$. En substituant, on obtient : $$ \frac{|f(x,y)|^2}{f(x,x)^2}f(x,x) – 2Re\left(\frac{\overline{f(x,y)}}{f(x,x)}f(x,y)\right) + f(y,y) \ge 0 $$ $$ \frac{|f(x,y)|^2}{f(x,x)} – \frac{2|f(x,y)|^2}{f(x,x)} + f(y,y) \ge 0 $$ $$ -\frac{|f(x,y)|^2}{f(x,x)} + f(y,y) \ge 0 $$ Ce qui donne bien $|f(x,y)|^2 \le f(x,x)f(y,y)$.
Dans un espace préhilbertien complexe, pour tous vecteurs $x, y$, on a : $$ |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\| $$
Dans un espace préhilbertien complexe, l’égalité $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$ a lieu si et seulement si la famille $(x,y)$ est liée.
Dans un espace préhilbertien complexe, l’application $x \mapsto \sqrt{\langle x, x \rangle}$ est une norme, appelée norme hermitienne.
Démonstration
La preuve est identique à celle du cas euclidien. Les propriétés de séparation et d’homogénéité sont directes. L’inégalité triangulaire découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : $$ \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2Re(\langle x,y \rangle) + \|y\|^2 \le \|x\|^2 + 2|\langle x,y \rangle| + \|y\|^2 $$ $$ \le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = (\|x\|+\|y\|)^2 $$ En prenant la racine carrée, on obtient le résultat.