Les espaces métriques sont des structures fondamentales en analyse. Ils généralisent la notion de distance et induisent une topologie abstraite cruciale pour les espaces fonctionnels.

Espaces métriques : définition et exemples

Un espace métrique est un couple $(E, d)$. $E$ est un ensemble. $d : E \times E \to \mathbb{R}$ est une application. Elle satisfait quatre axiomes pour tous $x,y,z \in E$ :

1. 
   
   • $d(x,y) \geq 0$ ;
   
   
   
   
   • $d(x,y) = 0 \iff x = y$ ;
   
   
   
   
   • $d(x,y) = d(y,x)$ ;
   
   
   • $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ (inégalité triangulaire).

$d$ est appelée distance sur $E$.

Exemples classiques

Voici des exemples fondamentaux :

• 
  
  • $\mathbb{R}^n$ avec la distance euclidienne $d_2(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – y_i)^2}$.
  
  
  
  
  • $\mathbb{R}$ avec la distance usuelle $d(x,y)=|x-y|$.
  
  
  
  
  • Tout ensemble $E$ avec la distance discrète : $d_d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x=y \\ 1 & \text{sinon} \end{cases}$.
  
  
  
  
  • $\mathbb{R}^2$ avec la distance de Manhattan : $d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = |x_1-x_2| + |y_1-y_2|$.
  
  
  • $C([a,b])$ avec la distance uniforme : $d_\infty(f,g) = \sup_{x\in[a,b]} |f(x)-g(x)|$.

Contre-exemples

Une application $d$ ne vérifiant pas tous les axiomes n’est pas une distance.

Par exemple, $d : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $d(x,y)= (x-y)^2$. Elle est symétrique et positive. Mais l’inégalité triangulaire échoue : $d(0,2)=4$, $d(0,1)=1$, $d(1,2)=1$, or $4 \nleq 1+1$.

Un autre contre-exemple : $d(x,y)=0$ pour tout $x,y$. Elle ne sépare pas les points distincts.

Topologie induite par la métrique

Tout espace métrique possède une structure topologique naturelle.

Boules et ouverts

Pour $x \in E$ et $r>0$, la boule ouverte de centre $x$ et rayon $r$ est :

$$B(x,r) = \{ y \in E \mid d(x,y) < r \}.$$

La boule fermée est $\overline{B}(x,r) = \{ y \in E \mid d(x,y) \leq r \}$.

Un sous-ensemble $U \subseteq E$ est ouvert. Cela signifie : pour tout $x \in U$, il existe $r>0$ tel que $B(x,r) \subseteq U$. La famille $\mathcal{T}_d$ de tous les ouverts forme une topologie sur $E$, appelée topologie induite par $d$.

Théorème : la topologie induite est bien définie

Preuve :

Vérifions les axiomes d’une topologie.

1. 
   
   • $\emptyset$ et $E$ sont ouverts. Pour $E$, tout $x$ possède une boule $B(x,1) \subseteq E$.
   
   
   
   
   • Union quelconque d’ouverts est ouverte. Si $x$ est dans l’union, il est dans un $U_i$ ouvert, donc une boule autour de $x$ est dans $U_i$ et donc dans l’union.
   
   
   • Intersection finie d’ouverts est ouverte. Soient $U_1, U_2$ ouverts et $x \in U_1 \cap U_2$. Il existe $r_1, r_2>0$ avec $B(x,r_1) \subseteq U_1$ et $B(x,r_2) \subseteq U_2$. Alors $B(x, \min(r_1,r_2)) \subseteq U_1 \cap U_2$.

Ainsi $\mathcal{T}_d$ est une topologie. $\blacksquare$

Convergence des suites et suites de Cauchy

Convergence

Une suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dans $E$ converge vers $x \in E$ si :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, d(x_n, x) < \varepsilon.$$

On note alors $x_n \to x$.

Suites de Cauchy

Une suite $(x_n)$ est de Cauchy si :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall p,q \geq N, d(x_p, x_q) < \varepsilon.$$

Toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque n’est pas toujours vraie.

Complétude

Un espace métrique $(E,d)$ est complet si toute suite de Cauchy converge dans $E$.

Exemple : $\mathbb{R}$ avec $d(x,y)=|x-y|$ est complet. $\mathbb{Q}$ avec cette même distance ne l’est pas : la suite définie par $x_1=1$ et $x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ est de Cauchy et converge vers $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Applications continues entre espaces métriques

Définition $\varepsilon$-$\delta$

Soient $(E,d_E)$ et $(F,d_F)$ deux espaces métriques. Une fonction $f : E \to F$ est continue en $x \in E$ si :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall y \in E, d_E(x,y) < \delta \implies d_F(f(x), f(y)) < \varepsilon.$$

$f$ est continue sur $E$ si elle est continue en tout point.

Équivalence avec la continuité séquentielle

Preuve :

Montrons l’équivalence des deux définitions.

Supposons $f$ continue au sens $\varepsilon$-$\delta$ en $x$. Soit $(x_n)$ une suite convergeant vers $x$. Pour $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que $d_E(x,y)<\delta$ implique $d_F(f(x),f(y))<\varepsilon$. Comme $x_n\to x$, il existe $N$ tel que $n\geq N \Rightarrow d_E(x_n,x)<\delta$, donc $d_F(f(x_n),f(x))<\varepsilon$. Ainsi $f(x_n)\to f(x)$.

Réciproquement, supposons que pour toute suite $(x_n)$ convergeant vers $x$, on ait $f(x_n)\to f(x)$. Nous voulons montrer la continuité $\varepsilon$-$\delta$. Supposons par l’absurde qu’il existe $\varepsilon_0>0$ tel que pour tout $\delta>0$, on trouve $y_\delta$ avec $d_E(x,y_\delta)<\delta$ et $d_F(f(x),f(y_\delta))\geq\varepsilon_0$. En prenant $\delta_n = 1/n$, on construit une suite $(y_n)$ vérifiant $d_E(y_n,x)<1/n$ et $d_F(f(y_n),f(x))\geq\varepsilon_0$. Cette suite converge vers $x$, mais $(f(y_n))$ ne converge pas vers $f(x)$. Contradiction. $\blacksquare$

Théorème des contractions

Soit $(E,d)$ un espace métrique complet. Si $f : E \to E$ est une contraction, c’est-à-dire qu’il existe $k \in [0,1[$ tel que

$$d(f(x), f(y)) \leq k \, d(x,y) \quad \forall x,y \in E,$$

alors $f$ admet un unique point fixe $x^\in E$ (c’est-à-dire $f(x^)=x^*$).

Preuve :

Choisissons $x_0 \in E$ arbitraire et définissons $x_{n+1}=f(x_n)$. Alors $d(x_{n+1},x_n)=d(f(x_n),f(x_{n-1}))\leq k d(x_n,x_{n-1})$. Par récurrence, $d(x_{n+1},x_n)\leq k^n d(x_1,x_0)$.

Montrons que $(x_n)$ est de Cauchy. Pour $p>q$,

\begin{align*}
d(x_p, x_q) &\leq d(x_p, x_{p-1}) + \dots + d(x_{q+1}, x_q) \\
&\leq (k^{p-1} + \dots + k^{q}) d(x_1, x_0) \\
&= d(x_1, x_0) \, k^{q} \frac{1 – k^{p-q}}{1 – k} \\
&\leq \frac{k^{q}}{1 – k} d(x_1, x_0).
\end{align*}

Comme $0\leq k<1$, $k^q \to 0$ quand $q\to\infty$. Donc $(x_n)$ est de Cauchy. Comme $E$ est complet, il existe $x^ \in E$ tel que $x_n \to x^$.

Par continuité de $f$ (toute contraction est continue), on passe à la limite dans $x_{n+1}=f(x_n)$ : $x^ = f(x^)$.

Ressources complémentaires

Pour approfondir la théorie des espaces métriques, des cours détaillés et des exercices corrigés sont disponibles sur KeepMath. Des articles historiques et des bibliographies sélectionnées sont proposés par CultureMath.