MANUEL DE RÉFÉRENCE – ANALYSE
Étude des Fonctions Numériques
Méthodologie Complète & Représentation – Niveau 1Bac
- I. Le Plan de Bataille : Algorithme Général
- II. Domaine de Définition et Symétries
- III. Limites et Asymptotes Droites
- IV. Les Branches Paraboliques (Classification)
- V. Dérivabilité et Sens de Variation
- VI. Concavité et Points d’Inflexion
- VII. Éléments de Symétrie (Axe et Centre)
- VIII. Construction de la Courbe
I. Le Plan de Bataille : Algorithme Général
Étudier une fonction ne s’improvise pas. C’est un exercice de synthèse qui demande de suivre un protocole strict pour ne rien oublier. Voici l’ordre canonique à respecter :
- Domaine de Définition ($D_f$) : Identifier les contraintes (dénominateurs nuls, racines négatives…).
- Réduction du Domaine ($D_E$) : Exploiter la parité (paire/impaire) et la périodicité pour réduire l’intervalle d’étude.
- Limites aux Bornes : Calculer les limites aux extrémités de $D_f$ et aux points de discontinuité.
- Étude des Branches Infinies : Déterminer les Asymptotes (Verticale, Horizontale, Oblique) et les Directions Asymptotiques.
- Dérivabilité et Dérivée : Justifier la dérivabilité, calculer $f'(x)$, factoriser et étudier son signe.
- Tableau de Variations : Synthétiser le signe de $f’$ et le sens de $f$ avec les limites calculées.
- Étude Locale (Concavité) : Calculer $f »(x)$ pour déterminer la concavité et les points d’inflexion.
- Points Remarquables : Intersection avec les axes ($Ox$, $Oy$), tangentes horizontales.
- Tracé de la Courbe ($\mathcal{C}_f$) : Tracer d’abord les asymptotes et tangentes, puis la courbe en respectant la concavité.
II. Domaine de Définition et Symétries
La première étape consiste à savoir « où la fonction existe ». Ensuite, on cherche à simplifier le travail grâce aux symétries.
Une fonction $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$.
Conséquence : Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$. On étudie sur $D_f \cap [0, +\infty[$.
Une fonction $f$ est impaire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$.
Conséquence : Symétrie par rapport à l’origine $O$.
III. Limites et Asymptotes Droites
L’étude des limites aux bornes permet de détecter les droites vers lesquelles la courbe se rapproche indéfiniment.
- Asymptote Verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite $x=a$ est asymptote verticale.
(Souvent aux valeurs interdites qui annulent le dénominateur). - Asymptote Horizontale : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ (fini), alors la droite $y=b$ est asymptote horizontale en $\pm\infty$.
- Asymptote Oblique : Si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – (ax+b)] = 0$, alors la droite $y=ax+b$ est asymptote oblique.
IV. Les Branches Paraboliques (Classification)
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, la courbe part à l’infini. Mais comment ? Vers le haut ? Vers la droite ? En biais ? Pour le savoir, on étudie le rapport $\frac{f(x)}{x}$.
Classification visuelle des branches infinies paraboliques.
On calcule $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ :
- Si la limite est 0 : Branche parabolique de direction l’axe des abscisses $(Ox)$. (La courbe est « écrasée »). Ex: $\sqrt{x}$.
- Si la limite est $\infty$ : Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées $(Oy)$. (La courbe « explose » vers le haut). Ex: $x^2$.
- Si la limite est $a \neq 0$ : On calcule ensuite $\lim [f(x) – ax]$.
- Si cette limite est finie ($b$) : Asymptote Oblique $y=ax+b$.
- Si cette limite est infinie : Branche parabolique de direction la droite $y=ax$.
V. Dérivabilité et Sens de Variation
L’outil principal pour connaître les variations est le signe de la dérivée.
- Calculer $f'(x)$ en utilisant les formules usuelles.
- Factoriser $f'(x)$ au maximum pour étudier son signe (tableau de signes).
- Conclure : $f’ > 0 \implies f$ croissante ; $f’ < 0 \implies f$ décroissante.
VI. Concavité et Points d’Inflexion
Pour affiner le tracé et savoir comment la courbe « tourne », on étudie la dérivée seconde $f »$.
- Si $f »(x) > 0$ sur $I$, la fonction est convexe. (La courbe est en « creux », comme un bol $\cup$). Elle est située au-dessus de toutes ses tangentes.
- Si $f »(x) < 0$ sur $I$, la fonction est concave. (La courbe est en « bosse », comme une colline $\cap$). Elle est située en-dessous de toutes ses tangentes.
Si la dérivée seconde $f »(x)$ s’annule en changeant de signe en $x_0$, alors le point $I(x_0, f(x_0))$ est un point d’inflexion.
C’est l’endroit où la courbe traverse sa tangente (elle passe de convexe à concave, ou l’inverse).
VII. Éléments de Symétrie (Axe et Centre)
Au-delà de la parité, une courbe peut avoir un axe ou un centre de symétrie quelconque.
- La droite d’équation $x=a$ est axe de symétrie si :
\(\forall x \in D_f, \quad f(2a – x) = f(x)\)
- Le point $\Omega(a, b)$ est centre de symétrie si :
\(\forall x \in D_f, \quad f(2a – x) + f(x) = 2b\)
VIII. Construction de la Courbe
Le tracé final est l’aboutissement de tout le travail. Il doit être soigné et cohérent avec le tableau de variations.
- Commencez toujours par tracer les asymptotes (en pointillés) et les tangentes horizontales (aux extremums).
- Placez les points remarquables (intersections axes, points d’inflexion).
- Respectez la position de la courbe par rapport aux asymptotes (au-dessus/au-dessous).
- Ne faites pas de traits « cassés » ou tremblants. La courbe doit être lisse (dérivable).