Étude de la Continuité Locale

Étudier la continuité d’une fonction « localement » signifie se concentrer sur son comportement au voisinage d’un point précis $a$. La question est de savoir si la fonction se comporte « bien » en ce point, c’est-à-dire si sa limite coïncide avec sa valeur. Cette étude est particulièrement pertinente pour les fonctions définies par morceaux ou pour les points qui sont au bord du domaine de définition.

1. La Stratégie en Trois Étapes

Pour étudier la continuité d’une fonction $f: A \to \mathbb{R}^n$ en un point $a \in A$, la démarche est toujours la même :

2. Cas d’Application

Cas 1 : Le point $a$ est « simple »

Si au voisinage du point $a$, la fonction $f$ est définie par une seule expression construite à partir de fonctions usuelles (polynômes, sinus, cosinus, exponentielle, etc.) par des opérations standard (somme, produit, composition), alors la continuité est généralement acquise.

Exemple

Étudier la continuité de $f(x,y) = (\cos(xy), x^2 + e^y)$ au point $a=(0,1)$.

1. $f(0,1) = (\cos(0 \cdot 1), 0^2 + e^1) = (\cos(0), e) = (1, e)$.
2. Les fonctions composantes $f_1(x,y) = \cos(xy)$ et $f_2(x,y) = x^2 + e^y$ sont des compositions et sommes de fonctions continues sur $\mathbb{R}^2$. Elles sont donc continues partout. La limite en $(0,1)$ est simplement leur valeur en ce point. $\lim_{(x,y) \to (0,1)} f(x,y) = f(0,1) = (1, e)$.
3. La limite est égale à la valeur de la fonction. Donc $f$ est continue en $(0,1)$.

Cas 2 : Le point $a$ est « critique »

C’est le cas le plus intéressant, qui demande une véritable étude de limite. Le point $a$ peut être un point où la définition de la fonction change, ou un point où une forme indéterminée (comme « 0/0 ») apparaît. On suppose alors que la fonction a été définie en ce point (par exemple $f(0,0)=0$).

Exemple (Discontinuité)

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par : $$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases} $$ Étudions la continuité en $a=(0,0)$.

1. Par définition, $f(0,0) = 0$.
2. Il faut calculer $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$.
   Testons le chemin $y=tx$ (approche par les droites passant par l’origine). $$ f(x, tx) = \frac{x(tx)}{x^2+(tx)^2} = \frac{tx^2}{x^2(1+t^2)} = \frac{t}{1+t^2} $$ La limite dépend de la pente $t$ de la droite. Par exemple, pour $t=1$ (première bissectrice), la limite est $1/2$. Pour $t=2$, la limite est $2/5$.
   Comme la limite dépend du chemin suivi, elle n’existe pas.
3. La limite n’existant pas, la fonction $f$ n’est pas continue en $(0,0)$, bien qu’elle y soit définie. [Image d’une surface avec une discontinuité en un point]

Exemple (Continuité)

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par : $$ g(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases} $$ Étudions la continuité en $a=(0,0)$.

1. Par définition, $g(0,0) = 0$.
2. Il faut calculer $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}$.
   Utilisons une majoration. On sait que $x^2 \le x^2+y^2$. $$ |g(x,y)| = \left| \frac{x^2 y}{x^2+y^2} \right| = \frac{x^2 |y|}{x^2+y^2} \le \frac{(x^2+y^2)|y|}{x^2+y^2} = |y| $$ On a l’encadrement $0 \le |g(x,y)| \le |y|$.
   Comme $\lim_{(x,y) \to (0,0)} |y| = 0$, le théorème des gendarmes nous assure que $\lim_{(x,y) \to (0,0)} g(x,y) = 0$. Soit $L=0$.
3. On compare : la limite $L=0$ est égale à la valeur $g(0,0)=0$. La fonction $g$ est donc continue en $(0,0)$.