Fonction Cosinus
La fonction $x \mapsto \cos x$ est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est paire et périodique de période $2\pi$. De plus, la relation $\cos(\pi-x) = -\cos x$ implique une symétrie par rapport au point $(\pi/2, 0)$. Il suffit donc de l’étudier sur l’intervalle $I = [0, \pi/2]$.
Sur cet intervalle, sa dérivée est $(\cos x)’ = -\sin x \le 0$.
| $x$ | 0 | $\pi/2$ | |
|---|---|---|---|
| $-\sin x$ | – | ||
| $\cos x$ | 1 | ↘ | 0 |
Fonction Sinus
La fonction $x \mapsto \sin x$ est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est impaire et périodique de période $2\pi$. La relation $\sin(\pi-x) = \sin x$ implique que la droite d’équation $x=\pi/2$ est un axe de symétrie. Il suffit donc de l’étudier sur l’intervalle $I = [0, \pi/2]$.
Sur cet intervalle, sa dérivée est $(\sin x)’ = \cos x \ge 0$.
| $x$ | 0 | $\pi/2$ | |
|---|---|---|---|
| $\cos x$ | + | ||
| $\sin x$ | 0 | ↗ | 1 |
Fonction Tangente
La fonction $x \mapsto \tan x$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$. Elle est impaire et périodique de période $\pi$. On peut donc restreindre son étude à l’intervalle $[0, \pi/2[$.
Sa dérivée est $(\tan x)’ = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, qui est toujours positive.
| $x$ | 0 | $\pi/2$ | |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{\cos^2 x}$ | + | || | |
| $\tan x$ | 0 | ↗ | || $+\infty$ |
Les droites d’équations $x=\pi/2 + k\pi$ sont des asymptotes verticales. Le point $(0,0)$ est un point d’inflexion.
Fonction Cotangente
La fonction $x \mapsto \cot x$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$. Elle est impaire et périodique de période $\pi$. On peut donc restreindre son étude à l’intervalle $]0, \pi/2]$.
Sa dérivée est $(\cot x)’ = -(1 + \cot^2 x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$, qui est toujours négative.
| $x$ | 0 | $\pi/2$ | |
|---|---|---|---|
| $-\frac{1}{\sin^2 x}$ | || | – | |
| $\cot x$ | || $+\infty$ | ↘ | 0 |
Les droites d’équations $x=k\pi$ sont des asymptotes verticales.