Étude des Points Cols (Selles)
Parmi les points critiques (où le gradient s’annule), certains ne sont ni des « fonds de vallée » (minima) ni des « sommets de montagne » (maxima). Ce sont des points cols, aussi appelés points selles en raison de leur forme caractéristique qui ressemble à une selle de cheval. En de tels points, la fonction augmente dans certaines directions et diminue dans d’autres.
1. Définition et Interprétation Géométrique
Un point critique $a$ d’une fonction $f$ est un point selle (ou point col) s’il n’est ni un minimum local, ni un maximum local.
Cela signifie que dans tout voisinage de $a$, il existe des points $x$ où $f(x) > f(a)$ et des points $y$ où $f(y) < f(a)$.
Géométriquement, un point selle correspond à un « col de montagne ». Si l’on se place au col, on peut monter en allant vers les sommets situés devant et derrière, mais on peut descendre en allant sur les côtés, vers les vallées.
2. Condition Suffisante du Second Ordre
Le test de la dérivée seconde fournit une condition suffisante très claire pour identifier un point selle.
Soit $a$ un point critique d’une fonction $f$ de classe C².
Si la matrice Hessienne $H_f(a)$ possède au moins une valeur propre strictement positive et au moins une valeur propre strictement négative, alors $a$ est un point selle.
La présence de valeurs propres de signes opposés indique que la courbure de la fonction est « vers le haut » dans la direction du vecteur propre associé à la valeur propre positive, et « vers le bas » dans la direction du vecteur propre associé à la valeur propre négative.
Cas des Fonctions de Deux Variables
Pour une fonction de deux variables, cette condition se simplifie considérablement. Le produit des valeurs propres est le déterminant $D$ de la matrice Hessienne. Si les valeurs propres sont de signes opposés, leur produit est nécessairement négatif.
Pour une fonction $f(x,y)$ de classe C², si en un point critique $a$, le déterminant de la matrice Hessienne est strictement négatif, alors $a$ est un point selle. $$ \det(H_f(a)) < 0 \implies a \text{ est un point selle} $$
Exemple Fondamental : $f(x,y) = x^2 – y^2$
Cette fonction est l’exemple canonique du point selle.
- Point critique : $\nabla f(x,y) = (2x, -2y)$. L’unique point critique est $(0,0)$.
- Matrice Hessienne : $$ H_f(x,y) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$ Cette matrice est constante. En $(0,0)$, $H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$.
- Analyse :
- Le déterminant est $D = (2)(-2) – 0 = -4$. Puisque $D < 0$, c'est un point selle.
- Alternativement, les valeurs propres d’une matrice diagonale sont ses éléments diagonaux : $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = -2$. Comme elles sont de signes opposés, c’est un point selle.
Exemple de Recherche
Reprenons la fonction $f(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy$. Ses points critiques sont $(0,0)$ et $(1,1)$.
Sa matrice Hessienne est $H_f(x,y) = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix}$.
Étude du point (0,0) :
$$ H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} $$
Le déterminant est $D = (0)(0) – (-3)(-3) = -9$.
Puisque $D < 0$, le point (0,0) est un point selle.