Exemples de Bases de Topologie
Pour bien comprendre comment une base engendre une topologie, il est utile d’étudier quelques exemples fondamentaux. Ces cas illustrent comment des collections d’ensembles très simples peuvent définir des structures topologiques très différentes.
Soit $X$ un ensemble non vide. La collection $\mathcal{B}$ de tous les singletons de $X$ est une base de topologie. $$ \mathcal{B} = \{ \{x\} \mid x \in X \} $$
Vérification :
- Tout élément $x \in X$ appartient bien à un élément de la base, à savoir $\{x\}$.
- L’intersection de deux singletons distincts, $\{x\} \cap \{y\}$ avec $x \neq y$, est l’ensemble vide, qui est une union (vide) d’éléments de la base.
La topologie engendrée par cette base est la topologie discrète, où toute partie de $X$ est un ouvert (car toute partie peut s’écrire comme une union de singletons).
Soit $X$ un ensemble non vide. La collection $\mathcal{B}$ contenant uniquement l’ensemble $X$ lui-même est une base de topologie. $$ \mathcal{B} = \{ X \} $$
Vérification :
- Tout élément de $X$ appartient bien à $X$.
- L’intersection de $X$ avec lui-même est $X$, qui est bien un élément de la base.
La topologie engendrée par cette base est la topologie grossière, dont les seuls ouverts sont $\emptyset$ (l’union vide) et $X$.
Considérons sur $\mathbb{R}$ la famille d’ensembles $\mathcal{B} = \{ [a, +\infty[ \mid a \in \mathbb{R} \}$. Cette famille est une base de topologie.
Vérification :
- Tout réel $x$ appartient à $[x, +\infty[$.
- L’intersection de $[a, +\infty[$ et $[b, +\infty[$ est $[\max(a,b), +\infty[$, qui est bien un élément de la base.
La topologie engendrée par cette base est appelée la topologie de l’ordre à droite. Ses ouverts sont les unions de demi-droites fermées à gauche. Par exemple, $]a, +\infty[ = \bigcup_{n=1}^\infty [a + 1/n, +\infty[$ est un ouvert de cette topologie.