Exemple Fondamental : Le Groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
Le groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (lire « Z sur nZ ») est l’exemple le plus important et le plus accessible de groupe quotient. Il est construit à partir du groupe des entiers $(\mathbb{Z}, +)$ en « identifiant » tous les entiers qui ont le même reste dans la division euclidienne par $n$.
Construction
On part du groupe $(G, +) = (\mathbb{Z}, +)$. Comme il est abélien, tous ses sous-groupes sont distingués.
- On considère le sous-groupe $H = n\mathbb{Z}$, l’ensemble des multiples de $n$.
- Le groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation de congruence modulo $n$.
- Ses éléments sont les classes d’équivalence : $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \dots, \overline{n-1}\}$$ où $\bar{k}$ est la classe de tous les entiers congrus à $k$ modulo $n$.
- La loi est l’addition modulo $n$ : $\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}$.
Propriétés du Groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
- C’est un groupe fini d’ordre $n$.
- Il est toujours abélien (commutatif), car l’addition dans $\mathbb{Z}$ l’est.
- Il est toujours cyclique, engendré par la classe $\bar{1}$.
Exemple : La table de $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$
Le groupe $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ a pour éléments $\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\}$. Sa table d’addition est :
| + | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ |
| $\bar{1}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ |
| $\bar{2}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ |
| $\bar{3}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ |
- L’élément neutre est $\bar{0}$.
- Le symétrique de $\bar{1}$ est $\bar{3}$. Le symétrique de $\bar{2}$ est $\bar{2}$.
- Les générateurs sont les classes $\bar{k}$ où $k$ est premier avec 4, donc $\bar{1}$ et $\bar{3}$.