Exemples de Calculs d’Aires

La méthode de calcul d’aire par intégrale double, via la formule $\text{Aire}(D) = \iint_D 1 \,dA$, est très puissante. Sa mise en œuvre dépend crucialement de la capacité à bien décrire le domaine d’intégration $D$. Nous allons illustrer la méthode avec plusieurs exemples.

Exemple 1 : Aire entre deux Paraboles

Calculer l’aire du domaine $D$ délimité par les paraboles $y = x^2$ et $y = 8 – x^2$.

1. Dessiner et borner le domaine :
   • $y=x^2$ est une parabole ouverte vers le haut.
   • $y=8-x^2$ est une parabole ouverte vers le bas, avec son sommet en $(0,8)$.
   • Points d’intersection : $x^2 = 8-x^2 \implies 2x^2=8 \implies x^2=4 \implies x = \pm 2$.
   • Le domaine est clairement de Type 1 : pour $x$ entre -2 et 2, $y$ est compris entre la parabole du bas ($y=x^2$) et celle du haut ($y=8-x^2$).
   [Image de l’aire entre les paraboles y=x^2 et y=8-x^2]
2. Mettre en place l’intégrale : $$ \text{Aire}(D) = \int_{-2}^2 \left( \int_{x^2}^{8-x^2} 1 \,dy \right) \,dx $$
3. Calculer l’intégrale : $$ \text{Aire}(D) = \int_{-2}^2 [y]_{x^2}^{8-x^2} \,dx = \int_{-2}^2 (8-x^2 – x^2) \,dx = \int_{-2}^2 (8-2x^2) \,dx $$ $$ = \left[ 8x – \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^2 = \left( 16 – \frac{16}{3} \right) – \left( -16 + \frac{16}{3} \right) = 32 – \frac{32}{3} = \frac{64}{3} $$

Exemple 2 : Inverser l’Ordre d’Intégration

Calculer l’aire du domaine $D$ défini par $0 \le y \le 1$ et $y^2 \le x \le y$.

1. Calcul direct (Type 2) : Le domaine est déjà décrit en Type 2. $$ \text{Aire}(D) = \int_0^1 \left( \int_{y^2}^y 1 \,dx \right) \,dy = \int_0^1 [x]_{y^2}^y \,dy = \int_0^1 (y-y^2) \,dy $$ $$ = \left[ \frac{y^2}{2} – \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $$
2. Inversion de l’ordre (Type 1) :
   • Les courbes sont $x=y^2$ (parabole horizontale) et $x=y$ (première bissectrice). Elles se croisent en (0,0) et (1,1).
   • Pour un $x$ fixé entre 0 et 1, $y$ est compris entre la droite $y=x$ (en haut) et la parabole $y=\sqrt{x}$ (en bas).
   L’intégrale devient : $$ \text{Aire}(D) = \int_0^1 \left( \int_x^{\sqrt{x}} 1 \,dy \right) \,dx = \int_0^1 (\sqrt{x}-x) \,dx $$ $$ = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} – \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} – \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $$ On retrouve bien le même résultat.

Exemple 3 : Utilisation des Coordonnées Polaires

Calculer l’aire du domaine $D$ situé entre les cercles $x^2+y^2=1$ et $x^2+y^2=4$, et dans le premier quadrant. (C’est un quart d’anneau).

1. Description en coordonnées polaires :
   • La condition $1 \le x^2+y^2 \le 4$ devient $1 \le r^2 \le 4$, soit $1 \le r \le 2$.
   • La condition « premier quadrant » ($x \ge 0, y \ge 0$) devient $0 \le \theta \le \pi/2$.
   • L’élément d’aire est $dA = r \,dr \,d\theta$.
2. Calcul de l’intégrale : $$ \text{Aire}(D) = \int_0^{\pi/2} \int_1^2 1 \cdot (r \,dr \,d\theta) $$ Comme la fonction à intégrer (r) et les bornes sont séparables, on peut écrire : $$ \text{Aire}(D) = \left( \int_1^2 r \,dr \right) \cdot \left( \int_0^{\pi/2} 1 \,d\theta \right) $$ $$ = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_1^2 \cdot [\theta]_0^{\pi/2} = \left( \frac{4}{2} – \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} $$