Exemples de Calculs de Volumes : Intégrales Doubles et Triples

Exemples de Calculs de Volumes : Intégrales Doubles et Triples

Exemples de Calculs de Volumes

Le calcul de volumes de solides est l’une des applications les plus directes et les plus importantes des intégrales multiples. On peut utiliser une intégrale double pour trouver le volume sous une surface, ou une intégrale triple pour trouver le volume d’un solide quelconque. La clé est toujours de bien décrire le domaine d’intégration.

Exemple 1 : Volume sous une Surface (Intégrale Double)

Calculer le volume du solide borné par le paraboloïde $z = 4 – x^2 – 2y^2$ et le plan $z=0$.

  1. Identifier la fonction et le domaine de base :
    • Le solide est au-dessus du plan $z=0$, donc la fonction « hauteur » est $f(x,y) = 4 – x^2 – 2y^2$.
    • Le domaine de base $D$ est la projection du solide sur le plan $(x,y)$, définie par la condition $f(x,y) \ge 0$. $$ 4 – x^2 – 2y^2 \ge 0 \implies x^2 + 2y^2 \le 4 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} \le 1 $$ Le domaine $D$ est une ellipse centrée à l’origine.
  2. Calculer l’intégrale double : $$ V = \iint_D (4 – x^2 – 2y^2) \,dA $$ On peut décrire l’ellipse comme un domaine de Type 1 : $-2 \le x \le 2$ et $-\sqrt{(4-x^2)/2} \le y \le \sqrt{(4-x^2)/2}$. $$ V = \int_{-2}^2 \left( \int_{-\sqrt{2-x^2/2}}^{\sqrt{2-x^2/2}} (4 – x^2 – 2y^2) \,dy \right) \,dx $$ Le calcul en coordonnées cartésiennes est complexe. Un changement de coordonnées adapté (coordonnées elliptiques) ou l’utilisation de symétries est préférable. Pour cet exemple, l’intégrale finale, bien que longue à calculer, donnera $V = 4\pi\sqrt{2}$.

Exemple 2 : Volume d’un Solide (Intégrale Triple)

Calculer le volume du solide $E$ borné par les cylindres paraboliques $y=x^2$ et $x=y^2$, et par les plans $z=0$ et $z=x+y$.

  1. Description du domaine $E$ :
    • Les bornes pour $z$ sont claires : $0 \le z \le x+y$.
    • La projection $D$ sur le plan $(x,y)$ est la région délimitée par les deux paraboles $y=x^2$ et $x=y^2$ (ou $y=\sqrt{x}$). Elles se croisent en (0,0) et (1,1). C’est un domaine de Type 1 : $0 \le x \le 1$ et $x^2 \le y \le \sqrt{x}$.
    [Image de l’aire entre les paraboles y=x^2 et x=y^2]
  2. Mettre en place l’intégrale : Le volume est $V = \iiint_E 1 \,dV$. $$ V = \iint_D \left( \int_0^{x+y} 1 \,dz \right) \,dA = \iint_D (x+y) \,dA $$
  3. Calculer l’intégrale double : $$ V = \int_0^1 \left( \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (x+y) \,dy \right) \,dx = \int_0^1 \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^{\sqrt{x}} \,dx $$ $$ = \int_0^1 \left( (x\sqrt{x} + \frac{x}{2}) – (x^3 + \frac{x^4}{2}) \right) \,dx = \int_0^1 \left( x^{3/2} + \frac{x}{2} – x^3 – \frac{x^4}{2} \right) \,dx $$ $$ = \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{x^2}{4} – \frac{x^4}{4} – \frac{x^5}{10} \right]_0^1 = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} – \frac{1}{4} – \frac{1}{10} = \frac{4-1}{10} = \frac{3}{10} $$

Exemple 3 : Volume d’un « Cornet de Glace »

Calculer le volume du solide $E$ situé au-dessus du cône $z=\sqrt{x^2+y^2}$ et sous la sphère $x^2+y^2+z^2=z$.

Ce problème est très difficile en coordonnées cartésiennes. Il est idéal pour les coordonnées sphériques.

  1. Conversion des équations en sphériques :
    • Cône $z=\sqrt{x^2+y^2} \implies \rho\cos\phi = \rho\sin\phi \implies \tan\phi=1 \implies \phi=\pi/4$.
    • Sphère $x^2+y^2+z^2=z \implies \rho^2 = \rho\cos\phi \implies \rho = \cos\phi$.
    • L’élément de volume est $dV = \rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta$.
  2. Description du domaine en sphériques :
    • Le cône définit la limite supérieure pour $\phi$ : $0 \le \phi \le \pi/4$.
    • La sphère définit la limite supérieure pour $\rho$ : $0 \le \rho \le \cos\phi$.
    • Par symétrie, $\theta$ parcourt tout le cercle : $0 \le \theta \le 2\pi$.
  3. Calcul de l’intégrale : $$ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/4} \int_0^{\cos\phi} 1 \cdot (\rho^2\sin\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta) $$ $$ = \int_0^{2\pi} d\theta \cdot \int_0^{\pi/4} \sin\phi \left( \int_0^{\cos\phi} \rho^2 \,d\rho \right) \,d\phi = 2\pi \int_0^{\pi/4} \sin\phi \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^{\cos\phi} \,d\phi $$ $$ = \frac{2\pi}{3} \int_0^{\pi/4} \sin\phi \cos^3\phi \,d\phi $$ Avec $u=\cos\phi, du=-\sin\phi \,d\phi$ : $$ = \frac{2\pi}{3} \int_1^{1/\sqrt{2}} u^3(-du) = \frac{2\pi}{3} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1/\sqrt{2}}^1 = \frac{\pi}{6} \left( 1 – \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{8} $$