Exemples de Lois de Composition
Pour bien comprendre ce qu’est une loi de composition interne (LCI), il est essentiel d’étudier des exemples variés. Certains sont très familiers, d’autres proviennent de domaines plus avancés des mathématiques. L’objectif est toujours de vérifier si la composition de deux éléments de l’ensemble reste bien à l’intérieur de cet ensemble.
Exemples Numériques
- L’addition sur $\mathbb{N}$ : L’application $+ : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une LCI car la somme de deux entiers naturels est toujours un entier naturel.
- La multiplication sur $\mathbb{Z}$ : L’application $\times : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ est une LCI car le produit de deux entiers relatifs est toujours un entier relatif.
- La soustraction sur $\mathbb{N}$ : L’application $- : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ n’est pas une loi de composition interne sur $\mathbb{N}$, car le résultat peut sortir de $\mathbb{N}$ (par exemple, $5 – 8 = -3 \notin \mathbb{N}$).
- La division sur $\mathbb{R}^*$ : L’application $\div : \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$ est une LCI sur $\mathbb{R}^*$ (l’ensemble des réels non nuls) car le quotient de deux réels non nuls est toujours un réel non nul.
Exemples Fonctionnels
- La composition de fonctions : Soit $E$ un ensemble et $\mathcal{F}(E, E)$ l’ensemble de toutes les fonctions de $E$ dans $E$. La composition $\circ$ est une LCI sur $\mathcal{F}(E, E)$. Si $f: E \to E$ et $g: E \to E$, alors $f \circ g$ est bien une fonction de $E$ dans $E$.
- L’addition de fonctions continues : Sur l’ensemble $\mathcal{C}([a, b], \mathbb{R})$ des fonctions continues, l’addition $(f, g) \mapsto f+g$ est une LCI car la somme de deux fonctions continues est continue.
Exemples Matriciels
- L’addition de matrices : Sur l’ensemble $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices carrées de taille $n$, l’addition est une LCI.
- La multiplication de matrices : La multiplication est également une LCI sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Le produit de deux matrices carrées de taille $n$ est une matrice carrée de taille $n$.
Autres Exemples
- L’intersection d’ensembles : Sur l’ensemble $\mathcal{P}(E)$ des parties d’un ensemble $E$, l’intersection $\cap$ est une LCI, car l’intersection de deux sous-ensembles de $E$ est encore un sous-ensemble de $E$.
- Le PGCD : Sur l’ensemble $\mathbb{N}^*$ des entiers naturels non nuls, l’application $(a, b) \mapsto \text{PGCD}(a, b)$ est une LCI.