Introduction : La Diversité des Anneaux
La structure d’anneau est suffisamment générale pour englober une grande variété d’objets mathématiques. L’étude d’exemples concrets est essentielle pour développer une intuition sur les propriétés des anneaux, comme la commutativité ou l’intégrité, et pour comprendre pourquoi ces distinctions sont si importantes. Des nombres familiers aux objets plus abstraits comme les polynômes ou les matrices, chaque exemple met en lumière un aspect différent de la théorie des anneaux.
1. L’Anneau des Entiers Relatifs $(\mathbb{Z}, +, \times)$
C’est l’archétype de l’anneau, celui sur lequel notre intuition est basée.
- Groupe abélien : $(\mathbb{Z}, +)$ est un groupe abélien.
- Multiplication : La multiplication est associative, commutative, et possède 1 comme élément neutre.
- Distributivité : La multiplication est distributive sur l’addition.
- Commutatif : Oui, car $a \times b = b \times a$.
- Intègre : Oui. Si $a \times b = 0$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$, alors nécessairement $a=0$ ou $b=0$. Il n’y a pas de diviseur de zéro.
- N’est pas un corps : La plupart des éléments non nuls n’ont pas d’inverse multiplicatif dans $\mathbb{Z}$. Par exemple, l’inverse de 2 est $1/2$, qui n’est pas un entier. Les seuls éléments inversibles sont 1 et -1.
2. Les Corps Numériques : $(\mathbb{Q}, +, \times)$, $(\mathbb{R}, +, \times)$, $(\mathbb{C}, +, \times)$
Ces ensembles sont construits à partir de $\mathbb{Z}$ pour « réparer » le manque d’inverses. Ils partagent de nombreuses propriétés.
- Ce sont tous des anneaux commutatifs et intègres.
- Leur caractéristique principale est que tout élément non nul $a$ possède un inverse multiplicatif $a^{-1}$. Cette propriété en fait des corps.
- Un corps est un type particulier d’anneau où la division (par un non-nul) est toujours possible.
3. L’Anneau des Entiers Modulo n : $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$
Cet anneau est fondamental en arithmétique et en cryptographie. Ses propriétés dépendent crucialement de la nature de l’entier $n$.
- C’est toujours un anneau commutatif.
- Cas où $n$ est premier : Si $n=p$ est un nombre premier, alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ est un corps. Tout élément non nul est inversible. C’est un résultat clé de l’arithmétique modulaire.
- Cas où $n$ est composé : Si $n$ est composé (ex: $n=6$), l’anneau n’est pas intègre. Il possède des diviseurs de zéro. Dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, on a : $$ [2] \times [3] = [6] = [0] $$ Pourtant, $[2] \neq [0]$ et $[3] \neq [0]$. Les classes de 2 et 3 sont des diviseurs de zéro.
4. L’Anneau des Matrices Carrées : $(\mathcal{M}_n(K), +, \times)$
Pour $n \ge 2$, c’est l’exemple le plus important d’anneau non commutatif. Soit $K$ un corps (par exemple $\mathbb{R}$).
- Non commutatif : En général, le produit matriciel $A \times B$ est différent de $B \times A$. Par exemple dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ : $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{mais} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$
- Non intègre : Il possède de nombreux diviseurs de zéro. Par exemple : $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
- Les éléments inversibles sont les matrices dont le déterminant est non nul.
5. L’Anneau des Polynômes : $A[X]$
Soit $A$ un anneau commutatif. L’ensemble des polynômes à une indéterminée $X$ et à coefficients dans $A$ est un anneau pour l’addition et la multiplication usuelles des polynômes.
- Si $A$ est commutatif, $A[X]$ l’est aussi.
- Une propriété fondamentale est que si $A$ est un anneau intègre, alors $A[X]$ est aussi un anneau intègre. Le degré du produit de deux polynômes non nuls est la somme de leurs degrés, donc le produit ne peut être le polynôme nul.
- Les inversibles de $A[X]$ sont les inversibles de $A$ (les polynômes constants inversibles).
6. L’Anneau Produit : $A \times B$
Soient $(A, +_A, \times_A)$ et $(B, +_B, \times_B)$ deux anneaux. On peut définir une structure d’anneau sur le produit cartésien $A \times B$.
- Les opérations sont définies composante par composante :
- $(a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 +_A a_2, b_1 +_B b_2)$
- $(a_1, b_1) \times (a_2, b_2) = (a_1 \times_A a_2, b_1 \times_B b_2)$
- L’élément nul est $(0_A, 0_B)$ et l’élément unité est $(1_A, 1_B)$.
- Cet anneau n’est (presque) jamais intègre. Soit $a = (1_A, 0_B)$ and $b = (0_A, 1_B)$. Ces éléments sont non nuls, mais leur produit est : $$ a \times b = (1_A \times_A 0_A, 0_B \times_B 1_B) = (0_A, 0_B) $$ Donc $a$ et $b$ sont des diviseurs de zéro.