Exemples Fondamentaux de Morphismes
Les morphismes sont omniprésents en mathématiques car ils relient les structures entre elles. L’étude d’exemples concrets est la meilleure façon de comprendre leur importance et leur fonctionnement.
Morphismes entre Groupes Numériques
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L’exponentielle : L’application $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times)$ est un morphisme (et même un isomorphisme).
Vérification : $\exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y)$. La loi du groupe de départ (+) est transformée en la loi du groupe d’arrivée ($\times$). -
Le logarithme : L’application $\ln: (\mathbb{R}_+^*, \times) \to (\mathbb{R}, +)$ est un morphisme (et l’isomorphisme réciproque de l’exponentielle).
Vérification : $\ln(x \times y) = \ln(x) + \ln(y)$. -
La valeur absolue : L’application $x \mapsto |x|$ de $(\mathbb{R}^*, \times)$ dans $(\mathbb{R}_+^*, \times)$ est un morphisme.
Vérification : $|x \times y| = |x| \times |y|$.
Morphismes Matriciels
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Le déterminant : L’application $\det: (GL_n(\mathbb{R}), \times) \to (\mathbb{R}^*, \times)$ est un morphisme de groupes.
Vérification : $\det(A \times B) = \det(A) \times \det(B)$. -
La trace : L’application $\text{Tr}: (\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), +) \to (\mathbb{R}, +)$ est un morphisme de groupes.
Vérification : $\text{Tr}(A + B) = \text{Tr}(A) + \text{Tr}(B)$.
Morphismes sur les Permutations
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La signature : L’application signature $\varepsilon: (\mathcal{S}_n, \circ) \to (\{-1, 1\}, \times)$ est un morphisme de groupes.
Vérification : $\varepsilon(\sigma \circ \tau) = \varepsilon(\sigma) \times \varepsilon(\tau)$.
Morphisme Trivial
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L’application triviale : Soient $(G, \star)$ et $(H, \bullet)$ deux groupes. L’application $f: G \to H$ qui envoie tous les éléments de $G$ sur l’élément neutre $e_H$ de $H$ est toujours un morphisme.
Vérification : $f(x \star y) = e_H$ et $f(x) \bullet f(y) = e_H \bullet e_H = e_H$.