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Exercices Corrigés : Droites Remarquables dans un Triangle
2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)
Dans un triangle \(ABC\), que représente la médiatrice du segment \([BC]\)? Où se coupent les trois médiatrices ?
Où se coupent les trois hauteurs d’un triangle ? Quel est le nom de ce point ?
Définir la médiane relative au côté \([AB]\) dans un triangle \(ABC\). Où se coupent les trois médianes ?
Que représente la bissectrice d’un angle dans un triangle ? Quel point remarquable obtient-on à l’intersection des trois bissectrices ?
Où se situe le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle \(ABC\) (angle droit en \(A\))?
Dans le triangle rectangle \(ABC\) (angle droit en \(A\)), quelle est la hauteur relative au côté \([AB]\)?
Soit \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\). Si \(I\) est le milieu de \([BC]\), que peut-on dire du point \(G\) sur le segment \([AI]\)?
Dans un triangle isocèle \(ABC\) de base \([BC]\), que peut-on dire de la hauteur issue de \(A\) ?
Soit \(I\) le centre du cercle inscrit dans un triangle. Quelle est la particularité de la distance de \(I\) aux trois côtés du triangle ?
Où se situe l’orthocentre dans un triangle obtusangle (qui a un angle > \(90^\circ\))?
Si un point \(M\) est sur la médiatrice d’un segment \([DE]\), que peut-on dire des distances \(MD\) et \(ME\)?
Dans un triangle \(ABC\), on trace la médiane \([AM]\). Si le périmètre de \(\triangle ABM\) est 15 cm et celui de \(\triangle ACM\) est 17 cm. Si \(AB=6\) cm, calculer \(AC\).
Dans quel type de triangle les quatre droites remarquables issues du même sommet sont-elles confondues ?
La hauteur \([AH]\) d’un triangle \(ABC\) mesure 5 cm. Le côté \([BC]\) mesure 8 cm. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
Nommer les points d’intersection des : a) Médiatrices ; b) Hauteurs ; c) Médianes ; d) Bissectrices.
Corrigés des exercices
La médiatrice de \([BC]\) est la droite passant par le milieu de \([BC]\) et perpendiculaire à \([BC]\).
Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit au triangle (point équidistant des sommets).
Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un seul point, appelé l’Orthocentre (noté \(H\)).
La médiane relative au côté \([AB]\) est le segment qui joint le sommet opposé \(C\) au milieu du côté \([AB]\).
Les trois médianes se coupent au centre de gravité du triangle (noté \(G\)).
La bissectrice d’un angle d’un triangle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
Les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit au triangle (point équidistant des côtés).
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit (intersection des médiatrices) se situe au milieu de l’hypoténuse (\([BC]\)).
La hauteur relative à \([AB]\) est la droite passant par \(C\) et perpendiculaire à \((AB)\).
Puisque \((AC) \perp (AB)\), la droite supportant le côté \([AC]\) est la hauteur relative au côté \([AB]\).
Le centre de gravité \(G\) est situé au tiers de la médiane à partir de la base et aux deux tiers à partir du sommet.
La hauteur issue du sommet principal \(A\) est aussi la médiane, la médiatrice et la bissectrice de l’angle en \(A\).
Le centre du cercle inscrit \(I\) est le point équidistant des trois côtés du triangle (la distance est égale au rayon du cercle inscrit).
Dans un triangle obtusangle, l’orthocentre se situe à l’extérieur du triangle.
(Voir figure de l’exercice 10).
Tout point situé sur la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Le périmètre de \(\triangle ABM\) est \(AB + BM + AM\). Le périmètre de \(\triangle ACM\) est \(AC + CM + AM\).
Puisque \([AM]\) est la médiane, \(M\) est le milieu de \([BC]\), donc \(BM = CM\).
Périmètre 1 – Périmètre 2 : \((AB + BM + AM) – (AC + CM + AM) = 15 – 17 = -2\)
\(AB – AC = -2 \implies AC = AB + 2 = 6 + 2 = 8 \text{ cm}\).
Les quatre droites remarquables sont confondues dans un triangle équilatéral.
Aire \( = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\)
a) Médiatrices : Centre du cercle circonscrit
b) Hauteurs : Orthocentre
c) Médianes : Centre de gravité
d) Bissectrices : Centre du cercle inscrit