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Exercices : Droites Remarquables du Triangle
1ère Année Collège
Pour chaque triangle, identifiez la nature de la droite (d).
Tracez la médiatrice du segment [AB] à l’aide du compas.
Expliquez comment tracer le cercle circonscrit au triangle ABC.
Expliquez comment tracer la bissectrice de l’angle \( \widehat{xAy} \).
Tracez la médiane issue de R dans le triangle RST.
Tracez la hauteur issue de G dans le triangle GHL rectangle en L.
Donnez un programme de construction pour la figure ci-dessous où RLP est isocèle en R et (d) est une droite remarquable.
Corrigés des exercices
a. (d) passe par le milieu de [BC] et est perpendiculaire à [BC]. C’est la médiatrice de [BC].
b. (d) passe par le sommet R et le milieu du côté opposé [ST]. C’est la médiane issue de R.
c. (d) passe par le sommet K et est perpendiculaire au côté opposé [LJ]. C’est la hauteur issue de K.
d. (d) partage l’angle \( \widehat{YBP} \) en deux angles égaux. C’est la bissectrice de l’angle \( \widehat{YBP} \).
1. Choisir un écartement de compas supérieur à la moitié de la longueur de [AB].
2. Pointer le compas en A, tracer un arc de cercle de chaque côté du segment.
3. Répéter l’opération en pointant en B, avec le même écartement.
4. La médiatrice est la droite qui passe par les deux points d’intersection des arcs.
1. Tracer les médiatrices d’au moins deux côtés du triangle (par exemple [AB] et [BC]).
2. Le point d’intersection de ces médiatrices, appelé O, est le centre du cercle circonscrit.
3. Le rayon du cercle est la distance du centre O à l’un des sommets (par exemple OA).
4. Tracer le cercle de centre O et de rayon OA.
1. Pointer le compas sur le sommet A et tracer un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l’angle en deux points, M et N.
2. À partir de M, tracer un arc de cercle à l’intérieur de l’angle.
3. Répéter l’opération à partir de N avec le même écartement. Les deux arcs se coupent en un point P.
4. La bissectrice est la demi-droite d’origine A passant par P.
1. Trouver le milieu du côté opposé à R, c’est-à-dire le milieu du segment [ST]. Appelons-le M.
2. Tracer le segment [RM]. Ce segment est la médiane issue de R.
La hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Dans un triangle rectangle en L, la hauteur issue de G est la droite perpendiculaire à [HL] passant par G. C’est donc le côté [GL] lui-même.
1. Tracer un triangle RLP isocèle en R (RL = RP).
2. La droite (d) passe par le sommet principal R et est perpendiculaire à la base [LP]. C’est donc la hauteur issue de R.
Comme le triangle est isocèle en R, cette droite est aussi la médiatrice de [LP], la médiane issue de R et la bissectrice de l’angle \( \widehat{LRP} \).