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Exercices Corrigés : Pyramide et Cône de Révolution
2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)
Une pyramide régulière a pour base un carré de côté \(c = 5\) cm et une hauteur \(h = 9\) cm. Calculer son volume \(V\).
Un cône de révolution a un rayon de base \(r = 3\) cm et une hauteur \(h = 7\) cm. Calculer son volume (arrondir à l’unité).
La base d’une pyramide est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm. La hauteur de la pyramide est 10 cm. Calculer son volume.
Un cône a un rayon \(r = 5\) cm et une hauteur \(h = 12\) cm. Calculer la longueur de sa génératrice \(g\) (sommet au bord de la base).
Une pyramide régulière a pour base un carré de centre \(O\) et de diagonale \(8\) cm. Sa hauteur \(SO = 3\) cm. Calculer la longueur de l’arête latérale \(SA\).
Le volume d’un cône est \(V = 100\pi \text{ cm}^3\). Son rayon est \(r = 5\) cm. Calculer sa hauteur \(h\).
Un récipient conique a un volume de \(1500 \text{ cm}^3\). Combien de litres d’eau peut-il contenir ?
Pour construire le patron d’un cône de rayon \(r=3\) cm et de génératrice \(g=6\) cm, quel est l’angle \(\alpha\) du secteur circulaire ?
On coupe une pyramide de hauteur \(H=12\) cm par un plan parallèle à la base situé à 4 cm du sommet. Quel est le coefficient de réduction \(k\) ?
L’aire de la base d’une grande pyramide est \(90 \text{ cm}^2\). On effectue une réduction de coefficient \(k = \frac{1}{3}\). Quelle est l’aire de la base de la petite pyramide obtenue ?
Le volume d’un grand cône est \(V = 270 \text{ cm}^3\). On le coupe à mi-hauteur (\(k = 0.5\)). Quel est le volume \(V’\) du petit cône ?
En utilisant les données de l’exercice 11, calculer le volume de la partie restante (le tronc de cône).
Un cylindre et un cône ont la même base et la même hauteur. Quel est le rapport entre le volume du cône et celui du cylindre ?
Une pyramide a un volume de \(20 \text{ cm}^3\). On multiplie toutes ses dimensions par 3. Quel est le volume de la nouvelle pyramide ?
Un verre a la forme d’un cône de hauteur 10 cm. On le remplit jusqu’à une hauteur de 5 cm. Quelle fraction du volume total le liquide occupe-t-il ?
Corrigés des exercices
Aire de la base (carré) : \(B = c^2 = 5^2 = 25 \text{ cm}^2\).
Volume : \(V = \frac{1}{3} \times B \times h\)
Aire de la base (disque) : \(B = \pi \times r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi\).
Volume : \(V = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 7 = 3\pi \times 7 = 21\pi\).
Aire de la base (triangle rectangle) : \(B = \frac{3 \times 4}{2} = 6 \text{ cm}^2\).
Le triangle formé par la hauteur, le rayon et la génératrice est rectangle.
D’après Pythagore : \(g^2 = h^2 + r^2\).
\(g = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}\).
Le triangle \(SOA\) est rectangle en \(O\). \(OA\) est la demi-diagonale.
\(OA = \frac{8}{2} = 4\) cm. \(SO = 3\) cm.
\(SA^2 = SO^2 + OA^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\).
Formule : \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Ici \(100\pi = \frac{1}{3} \pi (5^2) h\).
On simplifie par \(\pi\) : \(100 = \frac{25}{3} h\).
On sait que \(1 \text{ litre} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3\).
La formule de l’angle du secteur est : \(\alpha = 360^\circ \times \frac{r}{g}\).
Le patron est un demi-disque.
Le coefficient de réduction \(k\) est le rapport de la petite hauteur sur la grande hauteur.
Lors d’une réduction de coefficient \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\).
Lors d’une réduction de coefficient \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\).
Volume Tronc = Volume Grand Cône – Volume Petit Cône.
\(V_{cylindre} = B \times h\). \(V_{cône} = \frac{1}{3} B \times h\).
Le volume du cône est le tiers (\(1/3\)) de celui du cylindre.
C’est un agrandissement de coefficient \(K = 3\).
Le volume est multiplié par \(K^3 = 3^3 = 27\).
Le liquide forme un petit cône de hauteur \(h = 5\). Le verre est un grand cône de hauteur \(H = 10\).
Coefficient de réduction : \(k = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\).
Rapport des volumes : \(k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\).
Le liquide occupe un huitième (\(1/8\)) du verre.