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Exercices Corrigés : Vecteurs et Translation
2ème Année Collège (2 AC – Programme Maroc)
Quelles sont les trois caractéristiques nécessaires pour définir le vecteur \(\vec{AB}\)?
Dans la figure ci-dessous, quel vecteur est égal à \(\vec{CD}\)?
Si \(\vec{EF} = \vec{GH}\), quelle est la nature du quadrilatère \(EFHG\)?
Simplifier : \(\vec{AA}\) et \(\vec{AB} + \vec{BA}\).
Définir le point \(B\) par la translation \(t_{\vec{u}}\) qui transforme \(A\) en \(B\). Sachant que \(\vec{u} = \vec{CD}\), construire \(B\) tel que \(B = t_{\vec{CD}}(A)\).
La translation conserve-t-elle l’alignement, les distances, les angles ?
Le segment \([A’B’]\) est l’image du segment \([AB]\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\). Que peut-on dire du quadrilatère \(ABB’A’\)?
Simplifier la somme vectorielle : \(\vec{XY} + \vec{YZ}\).
Simplifier l’expression : \(\vec{u} = \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BC}\).
Dans le parallélogramme \(EFGH\), simplifier la somme : \(\vec{EF} + \vec{EH}\).
Simplifier l’expression : \(\vec{MN} – \vec{PN}\).
Construire le point \(R\) tel que \(\vec{AR} = \vec{AB} + \vec{AC}\) dans la figure ci-dessous.
L’image d’un point \(M\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\) est \(M’\), et l’image de \(M’\) par la translation de vecteur \(\vec{v}\) est \(M »\). Quel est le vecteur de la translation qui transforme \(M\) en \(M »\)?
L’image d’une droite \((D)\) par une translation de vecteur \(\vec{u}\) est \((D’)\). Quelles sont les positions relatives possibles entre \((D)\) et \((D’)\)?
Dans un triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([BC]\). Simplifier la somme \(\vec{AB} + \vec{AC}\) en utilisant \(\vec{AI}\).
Corrigés des exercices
Les trois caractéristiques sont :
- L’origine (la direction de la droite supportant le segment).
- Le sens (de \(A\) vers \(B\)).
- La norme (la longueur \(AB\)).
\(\vec{CD}\) est un vecteur qui se déplace de 3 unités vers la droite et 1 unité vers le bas.
Le vecteur égal est \(\vec{EF}\).
Si \(\vec{EF} = \vec{GH}\), cela signifie que le quadrilatère \(EFGH\) est un parallélogramme. Attention à l’ordre des points, il s’agit de \(EFHG\).
\(\vec{EF} = \vec{GH} \iff EFHG\) est un parallélogramme (en croisant les points \(F\) et \(H\)).
Le vecteur \(\vec{AA}\) est le vecteur nul : \(\vec{AA} = \vec{0}\).
La somme d’un vecteur et de son opposé est le vecteur nul : \(\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}\) (Relation de Chasles).
\(B = t_{\vec{CD}}(A)\) signifie que \(\vec{AB} = \vec{CD}\).
Le point \(B\) est construit de telle sorte que le quadrilatère \(ABDC\) soit un parallélogramme.
La translation est une isométrie. Elle conserve :
- L’alignement des points.
- Les distances (longueurs des segments).
- Les angles (mesures des angles).
L’image d’un point par translation de vecteur \(\vec{u}\) est définie par : \(\vec{AA’} = \vec{u}\) et \(\vec{BB’} = \vec{u}\).
Donc \(\vec{AA’} = \vec{BB’}\). Par conséquent, \(ABB’A’\) est un parallélogramme.
La relation de Chasles s’applique lorsque l’extrémité du premier vecteur est l’origine du deuxième :
On réordonne les termes pour appliquer Chasles :
Dans un parallélogramme \(EFGH\), le vecteur \(\vec{EG}\) est égal à la somme des deux vecteurs ayant la même origine \(E\).
La soustraction est l’addition de l’opposé : \(\vec{MN} – \vec{PN} = \vec{MN} + \vec{NP}\)
On applique Chasles :
Si \(\vec{AR} = \vec{AB} + \vec{AC}\), alors \(ABRC\) est un parallélogramme. Le point \(R\) est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur \([AB]\) et \([AC]\).
La composition de deux translations est une translation dont le vecteur est la somme des vecteurs de chaque translation.
L’image d’une droite par translation est une droite qui lui est parallèle. Cependant, si le vecteur \(\vec{u}\) est colinéaire à la droite \((D)\), alors \((D’)\) est confondue avec \((D)\).
Les positions sont : confondues ou strictement parallèles.
Dans \(\triangle ABC\), si \(I\) est le milieu de \([BC]\), on sait que \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}\) (Propriété de la médiane).