Un code de cadenas est composé de 4 chiffres choisis parmi \(\{0, 1, 2, \dots, 9\}\).

1. Combien de codes différents peut-on former ?
2. Combien de codes formés de chiffres distincts existe-t-il ?
3. Combien de codes commençant par le chiffre 7 existe-t-il ?
4. Combien de codes comportant au moins un chiffre 0 existe-t-il ?

On dispose d’un groupe de 10 élèves (6 filles et 4 garçons). On souhaite former un comité de 3 membres.

1. Combien de comités différents peut-on former ?
2. Combien de comités composés uniquement de filles peut-on former ?
3. Combien de comités comportant exactement un garçon peut-on former ?
4. Combien de comités comportant au moins une fille peut-on former ?

Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire simultanément 3 boules de l’urne.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles (cardinal de l’univers \(\Omega\)).
2. Calculer la probabilité d’obtenir 3 boules de la même couleur.
3. Calculer la probabilité d’obtenir 3 boules de couleurs différentes deux à deux.
4. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule blanche.

On reprend l’urne précédente (5B, 3R, 2V). On tire cette fois 3 boules successivement et avec remise.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
2. Calculer la probabilité d’obtenir, dans cet ordre : une blanche, une rouge puis une verte.
3. Calculer la probabilité d’obtenir exactement deux boules blanches.
4. Répondre aux mêmes questions si le tirage est effectué successivement mais sans remise.

Dans une population, 40% des individus sont vaccinés. On sait que 2% des vaccinés tombent malades, contre 10% des non-vaccinés.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité qu’un individu choisi au hasard soit malade.
3. Sachant qu’un individu est malade, quelle est la probabilité qu’il soit vacciné ?

Soient \(A\) et \(B\) deux événements tels que \(P(A) = 0,6\) et \(P(B) = 0,5\). On suppose que \(P(A \cup B) = 0,8\).

1. Calculer \(P(A \cap B)\).
2. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier.
3. Calculer \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).

On lance deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la somme des deux chiffres obtenus.

1. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(X\).
2. Déterminer la loi de probabilité de \(X\) (présenter sous forme de tableau).
3. Calculer \(P(X \ge 10)\).

On considère une variable aléatoire \(Y\) dont la loi est donnée par :

1. Vérifier que c’est bien une loi de probabilité.
2. Calculer l’espérance mathématique \(E(Y)\).
3. Calculer la variance \(V(Y)\) et l’écart-type \(\sigma(Y)\).

On lance une pièce de monnaie équilibrée 5 fois de suite de manière indépendante. On s’intéresse au nombre de fois où « Pile » apparaît.

1. Justifier que la variable aléatoire \(Z\) comptant le nombre de « Pile » suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres \(n\) et \(p\).
2. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 3 fois « Pile ».
3. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois « Pile ».
4. Calculer l’espérance et la variance de \(Z\).

Un sac contient 10 jetons : 7 sont noirs et 3 sont blancs. On tire au hasard 2 jetons simultanément.

1. Calculer la probabilité d’obtenir 2 jetons blancs.
2. On répète cette expérience 4 fois de suite en remettant à chaque fois les 2 jetons dans le sac. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 2 fois « deux jetons blancs ».
3. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de jetons blancs obtenus lors d’un seul tirage de 2 jetons. Déterminer la loi de \(X\).