Déterminer une fonction primitive \( F \) pour chacune des fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\) :

1. \( f(x) = 3x^2 – 4x + 5 \)
2. \( f(x) = x^4 – \frac{1}{2}x^3 + \frac{2}{3}x – 1 \)
3. \( f(x) = (x+1)(x-2) \)

Déterminer les fonctions primitives de \( f \) sur l’intervalle donné :

1. \( f(x) = (2x+1)(x^2+x-1)^3 \) sur \(\mathbb{R}\)
2. \( f(x) = \sin(x)\cos^4(x) \) sur \(\mathbb{R}\)
3. \( f(x) = \frac{(x^2+1)^2}{x} \) (Attention : développer ou transformer) sur \(]0, +\infty[\)

Déterminer une primitive \( F \) de \( f \) sur l’intervalle \( I \) :

1. \( f(x) = \frac{1}{(x+2)^2} \) sur \( I = ]-2, +\infty[\)
2. \( f(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^3} \) sur \( I = \mathbb{R} \)
3. \( f(x) = \frac{3}{(3x-1)^4} \) sur \( I = ]\frac{1}{3}, +\infty[\)

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

1. \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}} \) sur \( ]-3, +\infty[\)
2. \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \) sur \(\mathbb{R}\)
3. \( f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{2+\sin(x)}} \) sur \(\mathbb{R}\)

Déterminer une primitive pour chaque fonction :

1. \( f(x) = \cos(3x) – 2\sin(2x) \)
2. \( f(x) = \sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) \)
3. \( f(x) = 1 + \tan^2(x) \) sur \( ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \)

En utilisant les formules de linéarisation, déterminer les primitives de :

1. \( f(x) = \cos^2(x) \) (Indice : \(\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}\))
2. \( f(x) = \sin^2(x) \)

Soit \( f(x) = 4x^3 – 2x + 1 \).

1. Déterminer l’ensemble des primitives de \( f \) sur \(\mathbb{R}\).
2. Déterminer la primitive \( F \) de \( f \) qui prend la valeur \( 3 \) en \( x = 1 \) (c’est-à-dire \( F(1) = 3 \)).

Trouver les primitives de :

1. \( f(x) = e^{2x} \)
2. \( f(x) = xe^{x^2} \)
3. \( f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1} \) (Forme \( \frac{u’}{u} \))

Soit \( f(x) = \frac{1}{x^2-1} \).

1. Vérifier que pour tout \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \) : \[ \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x+1} \right) \]
2. En déduire les primitives de \( f \) sur \( ]1, +\infty[ \).

Soit \( g \) la fonction définie sur \( ]-1, +\infty[ \) par \( g(x) = \frac{2x+3}{(x+1)^2} \).

1. Déterminer deux réels \( a \) et \( b \) tels que \( g(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2} \).
2. Déterminer alors l’ensemble des primitives de \( g \) sur \( ]-1, +\infty[ \).