Dans un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \), on considère les vecteurs \( \vec{u}(1, -2, 2) \) et \( \vec{v}(2, 1, 0) \).

1. Calculer le produit scalaire \( \vec{u} \cdot \vec{v} \).
2. Calculer les normes \( \|\vec{u}\| \) et \( \|\vec{v}\| \).
3. Déterminer le cosinus de l’angle \( (\vec{u}, \vec{v}) \).

1. Déterminer l’équation cartésienne du plan \( (P) \) passant par le point \( A(1, 2, -1) \) et ayant pour vecteur normal \( \vec{n}(3, -1, 2) \).
2. Le point \( B(0, 1, 1) \) appartient-il au plan \( (P) \) ?
3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de \( (P) \) avec l’axe des abscisses.

Soit le plan \( (P) \) d’équation : \( 2x – y + 2z – 3 = 0 \).

1. Calculer la distance du point \( \Omega(1, 4, 2) \) au plan \( (P) \).
2. Déterminer les équations des plans parallèles à \( (P) \) situés à une distance de 4 unités de l’origine \( O \).

On considère l’ensemble \( (S) \) des points \( M(x, y, z) \) vérifiant l’équation :

1. Montrer que \( (S) \) est une sphère et déterminer son centre \( \Omega \) et son rayon \( R \).
2. Déterminer l’équation de la sphère de centre \( A(1, 0, 1) \) et passant par le point \( B(3, 2, 0) \).

Soit \( (S) \) la sphère de centre \( \Omega(0, 1, -2) \) et de rayon \( R = 3 \). Soit \( (P) \) le plan d’équation \( x + 2y – 2z + 2 = 0 \).

1. Calculer la distance \( d(\Omega, (P)) \).
2. En déduire que le plan \( (P) \) coupe la sphère \( (S) \) suivant un cercle \( (C) \).
3. Calculer le rayon \( r \) de ce cercle.

On considère les points \( A(1, 0, 1) \), \( B(2, -1, 3) \) et \( C(0, 2, 1) \).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \).
2. Calculer le produit vectoriel \( \vec{AB} \wedge \vec{AC} \).
3. En déduire que les points \( A, B \) et \( C \) ne sont pas alignés.
4. Donner une équation cartésienne du plan \( (ABC) \).

En reprenant les points \( A, B \) et \( C \) de l’exercice précédent :

1. Calculer l’aire du triangle \( ABC \).
2. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \).

Soit la droite \( (D) \) passant par \( A(1, 1, 0) \) et de vecteur directeur \( \vec{u}(1, -1, 2) \). Soit \( M(2, 3, 1) \) un point de l’espace.

1. Calculer \( \vec{AM} \wedge \vec{u} \).
2. En utilisant la formule \( d(M, (D)) = \frac{\|\vec{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|} \), calculer la distance de \( M \) à la droite \( (D) \).

Soient les plans \( (P_1) : x + y + z – 1 = 0 \) et \( (P_2) : 2x – y + z + 2 = 0 \).

1. Montrer que les plans \( (P_1) \) et \( (P_2) \) sont sécants suivant une droite \( (\Delta) \).
2. Déterminer un vecteur directeur \( \vec{v} \) de la droite \( (\Delta) \) en utilisant le produit vectoriel des vecteurs normaux.

On considère la sphère \( (S) \) d’équation \( x^2+y^2+z^2 = 9 \) et le point \( A(5, 0, 0) \).

1. Vérifier que le point \( A \) est à l’extérieur de la sphère.
2. Soit \( (P_m) \) le plan d’équation \( x = m \). Pour quelles valeurs de \( m \), le plan \( (P_m) \) est-il tangent à la sphère ?
3. Calculer le volume du tétraèdre \( OABC \) où \( B(0, 3, 0) \) et \( C(0, 0, 3) \). (Rappel : \( V = \frac{1}{6} |(\vec{OA} \wedge \vec{OB}) \cdot \vec{OC}| \)).