Écrire les nombres complexes suivants sous leur forme algébrique \( a + bi \) :

1. \( z_1 = (2 – 3i)(4 + i) \)
2. \( z_2 = \frac{1 + 2i}{3 – i} \)
3. \( z_3 = (1 + i)^2 – (1 – i)^2 \)
4. \( z_4 = \frac{\bar{z_1}}{z_2} \) (en utilisant les résultats précédents)

Calculer le module des nombres complexes suivants :

1. \( z_a = 3 – 4i \)
2. \( z_b = (1 + i\sqrt{3})^5 \)
3. \( z_c = \frac{2 + i}{2 – i} \)
4. \( z_d = \sqrt{2} + i\sqrt{6} \)

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :

1. \( z^2 – 4z + 5 = 0 \)
2. \( 2z^2 + 2z + 1 = 0 \)
3. \( z^2 + 9 = 0 \)

Déterminer la forme trigonométrique \( [r, \theta] \) des nombres complexes suivants :

1. \( z_1 = 1 + i \)
2. \( z_2 = – \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \)
3. \( z_3 = \sqrt{3} – i \)
4. \( z_4 = -5i \)

Écrire les nombres complexes suivants sous la forme \( re^{i\theta} \) :

1. \( z = -1 – i \)
2. \( z = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) – i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
3. \( z = \frac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}} \)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \). Déterminer l’ensemble des points \( M(z) \) dans les cas suivants :

1. \( |z – 2i| = 3 \)
2. \( |z + 1| = |z – i| \)
3. \( arg(z) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi] \)

On considère les points \( A, B \) et \( C \) d’affixes respectives \( a = 1 + i \), \( b = 3 + 2i \) et \( c = 2 – i \).

1. Placer les points dans le plan complexe.
2. Calculer l’affixe du vecteur \( \vec{AB} \) et la distance \( AB \).
3. Déterminer l’affixe du point \( D \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme.

Soient \( A(1) \), \( B(i) \) et \( C(1+i) \).

1. Calculer le rapport \( \frac{c – a}{b – a} \).
2. En déduire la nature du triangle \( ABC \).
3. Les points \( O, A \) et \( C \) sont-ils alignés ? Justifier.

Soit \( z = 1 + i \).

1. Écrire \( z \) sous forme trigonométrique.
2. Calculer \( z^{2024} \) en utilisant la formule de Moivre.
3. Montrer que \( \frac{z^4}{4} \) est un nombre réel négatif.

On considère l’équation \( (E) : z^2 – 2z + 4 = 0 \).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \( (E) \). On note \( z_1 \) la solution dont la partie imaginaire est positive.
2. Écrire \( z_1 \) sous forme exponentielle.
3. Soit \( A \) le point d’affixe \( z_1 \). Déterminer l’affixe du point \( B \) image de \( A \) par la rotation de centre \( O \) et d’angle \( \frac{\pi}{3} \).
4. Montrer que le triangle \( OAB \) est équilatéral.