En utilisant les formules d’Euler et de Moivre :

1. Linéariser l’expression suivante : \( \cos^3(x) \).
2. Montrer que pour tout \( x \in \mathbb{R} \) : \( \cos(3x) = 4\cos^3(x) – 3\cos(x) \).
3. Exprimer \( \sin(4x) \) en fonction de \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \).

Soit \( \vec{u} \) un vecteur d’affixe \( b = 3 – 2i \).

1. Donner l’écriture complexe de la translation \( t \) de vecteur \( \vec{u} \).
2. Déterminer l’affixe du point \( A’ \), image du point \( A \) d’affixe \( z_A = 1 + i \) par la translation \( t \).
3. Déterminer l’affixe du point \( B \) dont l’image par \( t \) est le point \( B’ \) d’affixe \( z_{B’} = 5i \).

Soit \( h \) l’homothétie de centre \( \Omega \) d’affixe \( \omega = 2 \) et de rapport \( k = -3 \).

1. Donner l’écriture complexe de l’homothétie \( h \).
2. Déterminer l’image du point \( C \) d’affixe \( z_C = 2 + i \) par \( h \).
3. Déterminer l’affixe du centre de l’homothétie \( h’ \) d’écriture complexe \( z’ = 2z – 1 + i \).

Soit \( R \) la rotation de centre \( A \) d’affixe \( a = i \) et d’angle \( \theta = \frac{\pi}{2} \).

1. Donner l’écriture complexe de la rotation \( R \).
2. Déterminer l’affixe du point \( B’ \), image de \( B \) d’affixe \( z_B = 1 \) par \( R \).
3. Montrer que le triangle \( ABB’ \) est rectangle isocèle en \( A \).

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations dont l’écriture complexe est :

1. \( z’ = z + 1 – 4i \)
2. \( z’ = 5z – 8 \)
3. \( z’ = iz + 1 + i \)
4. \( z’ = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z \)

Soient les points \( A(2) \), \( B(2i) \) et \( C(1+i) \).

1. Calculer le rapport \( Z = \frac{z_C – z_A}{z_B – z_A} \).
2. Interpréter le module et l’argument de \( Z \).
3. Que peut-on dire des points \( A, B \) et \( C \) ?

Déterminer et construire l’ensemble des points \( M(z) \) tels que :

1. \( \left| \frac{z – 1}{z – i} \right| = 1 \)
2. \( arg\left(\frac{z – 2}{z}\right) \equiv \frac{\pi}{2} [\pi] \)
3. \( (z – 2i)(\bar{z} + 2i) = 4 \)

Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l’équation : \( z^2 – 2\sqrt{2}z + 4 = 0 \).

1. On note \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions (avec \( Im(z_1) > 0 \)). Écrire \( z_1 \) sous forme exponentielle.
2. Soient \( A \) et \( B \) les points d’affixes respectives \( z_1 \) et \( z_2 \). Déterminer la nature du triangle \( OAB \).

1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe \( Z = 3 + 4i \).
2. Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l’équation : \( z^2 – (1+i)z – 2 – i = 0 \).

Dans le plan complexe, on considère les points \( A, B, C \) d’affixes respectives \( a, b, c \).

1. Montrer que \( ABC \) est un triangle rectangle isocèle en \( A \) si et seulement si \( \frac{c-a}{b-a} = i \) ou \( \frac{c-a}{b-a} = -i \).
2. Soit \( R \) la rotation de centre \( \Omega(1) \) et d’angle \( \frac{\pi}{2} \). Si \( A \) est l’image de \( B \) par \( R \), quelle est la relation entre leurs affixes ?
3. Application : Déterminer l’affixe du quatrième sommet \( D \) d’un carré \( ABCD \) connaissant \( A(1+i) \) et \( B(2+i) \).