L’étude des Faisceaux de coniques constitue une étape cruciale de la géométrie projective analytique. Cette structure algébrique permet d’analyser l’ensemble des courbes du second degré partageant des propriétés d’incidence communes.
Définitions formelles des Faisceaux de coniques
Soit $\mathbb{P}^2(\mathbb{K})$ le plan projectif sur un corps commutatif $\mathbb{K}$. Considérons deux coniques distinctes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ définies par leurs formes quadratiques respectives $Q_1$ et $Q_2$.
Le faisceau de coniques engendré par $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ est l’ensemble des coniques $\mathcal{C}_{(\lambda, \mu)}$ d’équations :
$$ \lambda Q_1(x, y, z) + \mu Q_2(x, y, z) = 0 $$I–ci, $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2 \setminus \{(0,0)\}$ représente un couple de paramètres projectifs. Par normalisation, on pose souvent $\mu = 1$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, ou inversement.
Points de base du faisceau
Un point $P$ est appelé point de base du faisceau s’il appartient à toutes les coniques du système. Ces points sont les solutions du système non linéaire suivant :
$$ \begin{cases} Q_1(x, y, z) = 0 \\ Q_2(x, y, z) = 0 \end{cases} $$D’après le théorème de Bézout, deux coniques sans composante commune possèdent exactement quatre points de base dans $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, comptés avec leur multiplicité d’intersection $m_P$.
Théorèmes et Propriétés structurelles
La structure d’un faisceau dépend intrinsèquement de la configuration de ses points de base. Cette section énonce les résultats fondamentaux sur la dégénérescence des courbes du faisceau.
Théorème des coniques dégénérées
Dans tout faisceau de coniques non trivial, il existe au moins une conique dégénérée. Si les coniques sont définies sur $\mathbb{C}$, il en existe exactement trois, éventuellement confondues.
Preuve : Soient $A$ et $B$ les matrices symétriques associées aux formes $Q_1$ et $Q_2$. Une conique du faisceau est dégénérée si et seulement si son déterminant s’annule.
Considérons le polynôme caractéristique généralisé $P(\lambda)$ défini par l’expression suivante :
$$ P(\lambda) = \det(A + \lambda B) $$L’application du déterminant à une matrice $3 \times 3$ produit un polynôme de degré 3 en $\lambda$. En effet :
$$ \det(A + \lambda B) = c_3 \lambda^3 + c_2 \lambda^2 + c_1 \lambda + c_0 = 0 $$D’après le théorème fondamental de l’algèbre, ce polynôme admet trois racines complexes. Chaque racine $\lambda_i$ correspond à une matrice $M_i = A + \lambda_i B$ de rang inférieur ou égal à 2. Par conséquent, la conique associée est soit une paire de droites, soit une droite double. $\blacksquare$
Théorème d’existence par un point
Soit un point $M_0$ n’appartenant pas à l’ensemble des points de base du faisceau. Il existe une unique conique $\mathcal{C}$ du faisceau passant par $M_0$.
Preuve : Soit $Q_1(M_0)$ et $Q_2(M_0)$ les évaluations des formes au point $M_0$. On cherche $(\lambda, \mu)$ tel que $\lambda Q_1(M_0) + \mu Q_2(M_0) = 0$. Le couple $(\mu, \lambda) = (Q_1(M_0), -Q_2(M_0))$ fournit une solution unique à un facteur près. $\blacksquare$
Exemples et Contre-exemples
La compréhension des faisceaux nécessite d’étudier des cas géométriques spécifiques, notamment les systèmes de cercles.
Exemple : Faisceau de cercles à points de base réels
Considérons deux cercles $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ se coupant en deux points $A$ et $B$. L’équation du faisceau est la suivante :
$$ (x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1) + \lambda (x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2) = 0 $$Pour $\lambda = -1$, les termes quadratiques s’annulent. On obtient l’équation d’une droite :
$$ (a_1 – a_2)x + (b_1 – b_2)y + (c_1 – c_2) = 0 $$Cette conique dégénérée du faisceau est l’axe radical des deux cercles. Elle passe obligatoirement par les points de base $A$ et $B$.
Contre-exemple : Faisceau sans points de base réels
Supposons deux cercles concentriques de rayons distincts $R_1$ et $R_2$. Le système d’équations est le suivant :
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 – R_1^2 = 0 \\ x^2 + y^2 – R_2^2 = 0 \end{cases} $$Soustrayons les deux équations. Nous obtenons $R_1^2 – R_2^2 = 0$. Puisque $R_1 \neq R_2$, ce système n’admet aucune solution réelle.
Par conséquent, ce faisceau ne possède aucun point de base dans $\mathbb{R}^2$. Les points de base sont situés à l’infini dans le plan complexe. Ils correspondent aux points cycliques $I(1, i, 0)$ et $J(1, -i, 0)$ avec une multiplicité de contact.