Fibré tangent : construction et propriétés fondamentales
Le fibré tangent est un objet central en géométrie différentielle, associant à chaque point d’une variété l’espace vectoriel de ses vecteurs tangents. Nous présentons ici sa définition rigoureuse et ses propriétés essentielles.
Définition formelle
Soit $M$ une variété différentiable de classe $\mathcal{C}^k$ ($k \geq 1$) de dimension $n$.
Une courbe différentiable dans $M$ est une application $\gamma : I \subset \mathbb{R} \to M$ de classe $\mathcal{C}^k$.
Deux courbes $\gamma_1, \gamma_2$ passant par $p \in M$ sont tangentes en $p$ si, pour une (et donc toute) carte locale $(U, \varphi)$ autour de $p$ avec $\varphi(p)=0$, on a :
$$
(\varphi \circ \gamma_1)'(0) = (\varphi \circ \gamma_2)'(0) \in \mathbb{R}^n.
$$
La classe de tangence d’une courbe $\gamma$ en $p$ est l’ensemble de toutes les courbes tangentes à $\gamma$ en $p$. Cette classe est notée $[\gamma]_p$.
L’espace tangent $T_p M$ en $p$ est l’ensemble des classes de tangence en $p$. Sa structure d’espace vectoriel de dimension $n$ est définie par :
$$
[\gamma_1]_p + [\gamma_2]_p := [t \mapsto \sigma(t)]_p,
$$
où $\sigma$ est une courbe représentant la somme des vecteurs dans une carte. Le blanc $[\gamma]_p$ et la multiplication par un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ sont définis similairement.
Le fibré tangent $TM$ est la réunion disjointe des espaces tangents :
$$
TM := \bigsqcup_{p \in M} T_p M.
$$
Il hérite d’une structure de variété de dimension $2n$ via les cartes tangentes. Pour une carte $(U, \varphi)$ de $M$, on définit $\widetilde{\varphi} : \pi^{-1}(U) \subset TM \to \varphi(U) \times \mathbb{R}^n$ par :
$$
\widetilde{\varphi}([\gamma]_p) = (\varphi(p), (\varphi \circ \gamma)'(0)).
$$
Théorèmes fondamentaux
Théorème 1 (Existence et unicité) : Pour toute variété différentiable $M$, le fibré tangent $TM$ peut être muni d’une structure de variété différentiable de dimension $2n$, et la projection $\pi : TM \to M$ est une application $\mathcal{C}^k$-différentiable.
Théorème 2 (Caractérisation par dérivation) : Soit $\mathcal{F}_p(M)$ l’ensemble des applications linéaires $D : \mathcal{C}^k_p(M) \to \mathbb{R}$ satisfaisant la règle de Leibniz en $p$ (dérivations en $p$). Alors, l’application :
$$
\begin{aligned}
T_p M &\to \mathcal{F}_p(M) \\
[\gamma]_p &\mapsto \left( f \mapsto (f \circ \gamma)'(0) \right)
\end{aligned}
$$
est un isomorphisme linéaire. Ainsi, un vecteur tangent peut être vu comme une dérivation en $p$.
Preuve du théorème 2
Preuve :
Soit $v = [\gamma]_p \in T_p M$. Définissons $D_v(f) := (f \circ \gamma)'(0)$.
- Linéarité : Pour $f, g \in \mathcal{C}^k_p(M)$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ :
$$
D_v(f+\lambda g) = ((f+\lambda g)\circ\gamma)'(0) = (f\circ\gamma)'(0) + \lambda (g\circ\gamma)'(0) = D_v(f) + \lambda D_v(g).
$$ - Règle de Leibniz : Pour $f, g \in \mathcal{C}^k_p(M)$ :
$$
D_v(fg) = ((fg)\circ\gamma)'(0) = (f\circ\gamma)'(0)(g\circ\gamma)(0) + (f\circ\gamma)(0)(g\circ\gamma)'(0) = D_v(f)g(p) + f(p)D_v(g).
$$
Ainsi $D_v \in \mathcal{F}_p(M)$.
Injectivité : Si $D_v=0$, alors pour toute $f$, $(f\circ\gamma)'(0)=0$. En particulier, avec $f$ une coordonnée locale, on montre que $(\varphi\circ\gamma)'(0)=0$, donc $v$ est la classe de la courbe constante, soit $v=0$.
Surjectivité : Soit $D \in \mathcal{F}_p(M$. Dans une carte locale $(U,\varphi)$ around $p$, définissons $\gamma(t) = \varphi^{-1}(\varphi(p)+tv)$ pour $v \in \mathbb{R}^n$ assez petit. Alors pour toute $f \in \mathcal{C}^k_p(M)$ :
$$
D(f) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) \, D(x_i) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) \, v^i.
$$
Mais $D(x_i)$ sont les composantes de $D$ sur les coordonnées. En posant $v^i = D(x_i)$, on obtient $D = D_v$ pour la courbe $\gamma$ associée. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemple 1 : Pour $M = \mathbb{R}^n$, muni de la carte identité, on a $T_p\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n$. Le fibré tangent $T\mathbb{R}^n$ est trivial : $T\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$.
Exemple 2 : Sur la sphère $S^2 \subset \mathbb{R}^3$, en un point $p$, $T_p S^2$ est le plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$ orthogonal au rayon $p$. Le fibré tangent $TS^2$ n’est pas trivial (théorème de la « boule de tennis » de non-existence d’un champ continu de repères sur $S^2$).
Contre-exemple : Sur un point isolé d’un espace topologique (non variété), la notion de fibré tangent n’est pas définie car il n’existe pas de carte locale de dimension $n>0$.
Applications et liens utiles
Le fibré tangent permet de définir :
- Les champs de vecteurs (sections de $TM$).
- La différentielle d’une application $F : M \to N$ comme une application linéaire $dF_p : T_p M \to T_{F(p)} N$.
- Les connexions et la dérivée covariante.
Pour approfondir, consultez les cours et exercices de mathématiques supérieur, licence et prépa sur KeepMath, ainsi que la thématique supérieur de CultureMATH.
Exercice-type
Soit $M$ une variété et $p \in M$. Montrer que tout vecteur $v \in T_p M$ peut s’écrire comme $v = [\gamma]_p$ pour une courbe $\gamma$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ (même si $M$ est seulement $\mathcal{C}^k$).
Indice : Utiliser une fonction $\eta \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$ valant $1$ au voisinage de $0$ et composer avec une courbe $\mathcal{C}^k$ représentant $v$.