Flux d’un Champ de Vecteurs
L’intégrale de surface d’un champ de vecteurs est l’une des notions les plus importantes de l’analyse vectorielle, avec des applications profondes en physique. On ne l’appelle généralement pas « intégrale de surface », mais plutôt le flux du champ de vecteurs à travers la surface.
1. Interprétation Physique du Flux
Le flux mesure la « quantité » d’un champ de vecteurs $\vec{F}$ qui traverse une surface orientée $S$. L’interprétation dépend de la nature du champ $\vec{F}$ :
- Si $\vec{F}$ est le champ de vitesse d’un fluide, le flux est le débit volumique, c’est-à-dire le volume de fluide qui traverse la surface par unité de temps.
- Si $\vec{F}$ est un champ électrique, le flux est proportionnel au nombre de lignes de champ qui traversent la surface. Le théorème de Gauss relie ce flux à la charge électrique contenue à l’intérieur de la surface si celle-ci est fermée.
Dans tous les cas, seule la composante du champ qui est perpendiculaire (normale) à la surface contribue au flux. Une force parallèle à la surface ne la traverse pas. Le flux est donc une somme des produits scalaires entre le champ $\vec{F}$ et des vecteurs normaux à la surface.
[Image de lignes de champ traversant une surface]2. Formule de Calcul du Flux
Le calcul du flux passe obligatoirement par une paramétrisation de la surface $S$.
Soit $\vec{F}$ un champ de vecteurs continu et $S$ une surface lisse orientée, paramétrée par $\vec{r}(u,v)$ pour $(u,v) \in D$.
Le flux de $\vec{F}$ à travers $S$ est défini par l’intégrale de surface :
$$ \text{Flux} = \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{F}(\vec{r}(u,v)) \cdot (\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v) \,du \,dv $$
où le vecteur $d\vec{S} = (\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v) \,du \,dv$ est le vecteur surface élémentaire. Son sens doit correspondre à l’orientation choisie pour $S$.
Exemple : Flux du champ position à travers une sphère
Calculer le flux du champ de vecteurs $\vec{F}(x,y,z) = (x,y,z)$ à travers une sphère $S$ de rayon $R$ centrée à l’origine, orientée vers l’extérieur.
- Paramétrisation de la sphère : $$ \vec{r}(\phi, \theta) = (R\sin\phi\cos\theta, R\sin\phi\sin\theta, R\cos\phi) $$ avec $0 \le \phi \le \pi$ et $0 \le \theta \le 2\pi$.
- Calcul du vecteur normal : On a déjà calculé le produit vectoriel des vecteurs tangents : $$ \vec{N} = \vec{r}_\phi \wedge \vec{r}_\theta = (R^2\sin^2\phi\cos\theta, R^2\sin^2\phi\sin\theta, R^2\sin\phi\cos\phi) $$ Ce vecteur est colinéaire à $\vec{r}$ et $R^2\sin^2\phi$ est positif, donc il pointe bien vers l’extérieur. C’est la bonne orientation.
- Champ de vecteurs sur la surface : On évalue $\vec{F}$ sur les points de la sphère. $\vec{F}(\vec{r}(\phi, \theta))$ est simplement le vecteur position $\vec{r}(\phi, \theta)$ lui-même. $$ \vec{F}(\vec{r}(\phi, \theta)) = (R\sin\phi\cos\theta, R\sin\phi\sin\theta, R\cos\phi) $$
- Calcul du produit scalaire $\vec{F} \cdot \vec{N}$ : $$ \vec{F} \cdot \vec{N} = (R\sin\phi\cos\theta)(R^2\sin^2\phi\cos\theta) + (R\sin\phi\sin\theta)(R^2\sin^2\phi\sin\theta) + (R\cos\phi)(R^2\sin\phi\cos\phi) $$ $$ = R^3\sin^3\phi\cos^2\theta + R^3\sin^3\phi\sin^2\theta + R^3\sin\phi\cos^2\phi $$ $$ = R^3\sin^3\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + R^3\sin\phi\cos^2\phi = R^3\sin^3\phi + R^3\sin\phi\cos^2\phi $$ $$ = R^3\sin\phi(\sin^2\phi+\cos^2\phi) = R^3\sin\phi $$
- Calcul de l’intégrale : $$ \text{Flux} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi R^3\sin\phi \,d\phi \,d\theta $$ $$ = R^3 \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right) \left( \int_0^\pi \sin\phi \,d\phi \right) = R^3 (2\pi) [-\cos\phi]_0^\pi = 2\pi R^3 (1 – (-1)) = 4\pi R^3 $$
Note : Ce résultat est en accord avec le théorème de la divergence (Gauss-Ostrogradsky). La divergence du champ est $\text{div} \vec{F} = 1+1+1=3$. Le flux sortant d’une surface fermée est l’intégrale de la divergence sur le volume intérieur : $\iiint_V 3 \,dV = 3 \cdot \text{Volume}(\text{Boule}) = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$.