La fonction logarithme népérien étant une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$, elle admet une fonction réciproque, notée $\exp$, définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $]0, +\infty[$. Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base e ou, plus simplement, fonction exponentielle. On a alors la relation d’équivalence : $$ \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in ]0, +\infty[, \quad y = \exp(x) \iff x = \ln y $$
Remarque sur la notation
Pour un nombre rationnel $r$, on a $r = r \ln e = \ln(e^r)$. Par définition de la fonction réciproque, cela implique que $\exp(r) = e^r$. La fonction exponentielle prolonge donc à l’ensemble des réels la puissance de base $e$. Par convention, on adopte la notation $e^x$ pour désigner $\exp(x)$ pour tout réel $x$.
La fonction exponentielle est continue, dérivable, et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus, elle est sa propre dérivée : $$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad (e^x)’ = e^x $$
Démonstration
Puisque $\ln$ est continue et strictement croissante, sa fonction réciproque l’est aussi. De plus, comme $\ln$ est dérivable et que sa dérivée ne s’annule jamais, la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour calculer sa dérivée, posons $y=e^x$, ce qui équivaut à $x=\ln y$. En utilisant la formule de la dérivée d’une fonction réciproque, on a : $$ (e^x)’ = \frac{1}{\ln'(e^x)} = \frac{1}{1/e^x} = e^x $$
Les propriétés de la fonction $\ln$ se traduisent directement pour la fonction exponentielle. Pour tous réels $a, b$ et tout rationnel $r$, on a :
- $e^{a+b} = e^a e^b$
- $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
- $e^{ra} = (e^a)^r$
Les limites de référence sont :
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ (la droite $y=0$ est asymptote horizontale)
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ (croissance comparée)
- $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$ (croissance comparée)
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1$ (nombre dérivé en 0)
Les courbes représentatives des fonctions $\ln$ et $\exp$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d’équation $y=x$).