Fonctions majorées, minorées, bornées

Soient $f: D \to \mathbb{R}$ et $g: D \to \mathbb{R}$ deux fonctions définies sur le même domaine. On établit les relations d’ordre suivantes :

• $f \ge g$ si pour tout $x \in D$, on a $f(x) \ge g(x)$.
• $f \ge 0$ si pour tout $x \in D$, on a $f(x) \ge 0$.
• $f > 0$ si pour tout $x \in D$, on a $f(x) > 0$.
• $f$ est dite constante sur $D$ s’il existe un réel $a$ tel que pour tout $x \in D$, $f(x) = a$.
• $f$ est dite nulle sur $D$ si pour tout $x \in D$, $f(x) = 0$.

Soit $f: D \to \mathbb{R}$ une fonction. On dit que :

• $f$ est majorée sur $D$ s’il existe un réel $M$ tel que pour tout $x \in D$, $f(x) \le M$.
• $f$ est minorée sur $D$ s’il existe un réel $m$ tel que pour tout $x \in D$, $f(x) \ge m$.
• $f$ est bornée sur $D$ si elle est à la fois majorée et minorée. Cela équivaut à l’existence d’un réel positif $M$ tel que pour tout $x \in D$, $|f(x)| \le M$.