Fonction Arc Tangente
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l’intervalle ouvert $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$. Elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image, $\mathbb{R}$. Sa fonction réciproque est appelée Arc tangente et est notée $\arctan$.
La fonction $\arctan$ est définie par : $$ \arctan: \mathbb{R} \to ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ $$ $$ x \mapsto \arctan x $$ Elle est caractérisée par l’équivalence : $$ y = \arctan x \iff \begin{cases} x = \tan y \\ \text{et } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \end{cases} $$
- La fonction $\arctan$ est continue, strictement croissante et impaire sur $\mathbb{R}$.
- Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est : $$ (\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2} $$
- On a la relation fondamentale : $\forall x \in \mathbb{R}^*, \arctan x + \arctan(\frac{1}{x}) = \text{sgn}(x) \frac{\pi}{2}$.
Fonction Arc Cotangente
La fonction cotangente est continue et strictement décroissante sur l’intervalle ouvert $]0, \pi[$. Elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image, $\mathbb{R}$. Sa fonction réciproque est appelée Arc cotangente et est notée $\text{arccot}$.
La fonction $\text{arccot}$ est définie par : $$ \text{arccot}: \mathbb{R} \to ]0, \pi[ $$ $$ x \mapsto \text{arccot } x $$ Elle est caractérisée par l’équivalence : $$ y = \text{arccot } x \iff \begin{cases} x = \cot y \\ \text{et } 0 < y < \pi \end{cases} $$
- La fonction $\text{arccot}$ est continue et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
- Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est : $$ (\text{arccot } x)’ = -\frac{1}{1+x^2} $$
- On a la relation fondamentale : $\forall x \in \mathbb{R}, \arctan x + \text{arccot } x = \frac{\pi}{2}$.
Remarque
Les représentations graphiques des fonctions réciproques se déduisent de celles des fonctions circulaires par une symétrie par rapport à la première bissectrice (droite d’équation $y=x$).