À tout nombre réel $\theta$, on peut associer un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique $U$ (centré à l’origine, de rayon 1) tel que l’angle orienté entre le vecteur $\vec{Ox}$ et le vecteur $\vec{OM}$ soit de mesure $\theta$.
Les fonctions circulaires ou trigonométriques sont définies à partir des coordonnées du point $M$ associé à l’angle $\theta$ :
- Cosinus : $\cos \theta$ est l’abscisse de $M$.
- Sinus : $\sin \theta$ est l’ordonnée de $M$.
- Tangente : $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, définie lorsque $\cos \theta \neq 0$.
- Cotangente : $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$, définie lorsque $\sin \theta \neq 0$.
Remarques
- Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur $\mathbb{R}$ et sont périodiques de période $2\pi$.
- La fonction tangente est définie pour $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
- La fonction cotangente est définie pour $x \neq k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a les identités suivantes :
- $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
- $\cos(-x) = \cos x$ (parité)
- $\sin(-x) = -\sin x$ (imparité)
- $\cos(\pi – x) = -\cos x$
- $\sin(\pi – x) = \sin x$
- $\cos(\frac{\pi}{2} – x) = \sin x$
- $\sin(\frac{\pi}{2} – x) = \cos x$
Valeurs Remarquables
| $x$ | 0 | $\pi/6$ | $\pi/4$ | $\pi/3$ | $\pi/2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |
| $\sin x$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
- La fonction $x \mapsto \sin x$ est strictement croissante sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- La fonction $x \mapsto \cos x$ est strictement décroissante sur $[0, \pi]$.
- La fonction $x \mapsto \tan x$ est strictement croissante sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$.
- La fonction $x \mapsto \cot x$ est strictement décroissante sur $]0, \pi[$.
Démonstration (pour le sinus)
Soient $x, x’$ tels que $-\frac{\pi}{2} \le x < x' \le \frac{\pi}{2}$. On utilise la formule de transformation : $$ \sin x' - \sin x = 2 \sin\left(\frac{x'-x}{2}\right) \cos\left(\frac{x'+x}{2}\right) $$ Dans les intervalles considérés, on a $0 < \frac{x'-x}{2} \le \frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2} < \frac{x'+x}{2} < \frac{\pi}{2}$. Par conséquent, $\sin\left(\frac{x'-x}{2}\right) > 0$ et $\cos\left(\frac{x’+x}{2}\right) > 0$. Le produit est donc strictement positif, ce qui montre que $\sin x’ > \sin x$. La fonction est bien strictement croissante.