Fonctions de Classe C¹
Nous avons vu que la simple existence des dérivées partielles en un point est une condition « faible » : elle ne garantit même pas que la fonction soit continue en ce point. Pour développer une théorie solide du calcul différentiel, nous avons besoin d’une hypothèse plus forte. C’est le rôle des fonctions de classe C¹.
1. Définition des Fonctions de Classe C¹
Une fonction est dite de classe C¹ sur un ouvert si toutes ses dérivées partielles premières existent et si, de plus, ces fonctions dérivées partielles sont elles-mêmes continues.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction définie sur un ouvert $U$.
On dit que $f$ est de classe C¹ sur $U$ si :
- Toutes les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ existent pour tout $x \in U$ et tout $i \in \{1, \dots, p\}$.
- Chacune des fonctions dérivées partielles $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ est continue sur $U$.
On note $\mathcal{C}^1(U, \mathbb{R}^n)$ l’ensemble des fonctions de classe C¹ de $U$ dans $\mathbb{R}^n$.
2. Le Théorème Fondamental
L’intérêt majeur de la notion de classe C¹ est qu’elle fournit une condition suffisante pour garantir la continuité (et même plus : la différentiabilité, qui est la notion correcte de dérivabilité en dimension supérieure).
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction.
Si $f$ est de classe C¹ sur l’ouvert $U$, alors $f$ est différentiable sur $U$, et par conséquent, $f$ est continue sur $U$.
$$ \text{Classe C}^1 \implies \text{Différentiable} \implies \text{Continue} $$
Ce théorème est crucial. En pratique, pour prouver qu’une fonction est continue, la méthode la plus efficace est souvent de prouver qu’elle est de classe C¹.
3. Méthode Pratique pour Justifier qu’une Fonction est de Classe C¹
En général, on procède en deux temps :
- Calculer les dérivées partielles : On calcule formellement les expressions de toutes les fonctions dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_i}$.
- Étudier leur continuité : On étudie la continuité de chacune de ces nouvelles fonctions. Si elles sont toutes continues sur l’ouvert $U$ (par exemple, parce qu’elles sont construites à partir de fonctions usuelles), alors la fonction $f$ est de classe C¹ sur $U$.
Exemple
Montrer que $f(x,y) = (x^2y, \cos(xy))$ est de classe C¹ sur $\mathbb{R}^2$.
- On calcule la matrice jacobienne : $$ J_f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ -y\sin(xy) & -x\sin(xy) \end{pmatrix} $$
- On étudie la continuité des quatre fonctions dérivées partielles :
- $x \mapsto 2xy$ est une fonction polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}^2$.
- $x \mapsto x^2$ est une fonction polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}^2$.
- $x \mapsto -y\sin(xy)$ est le produit et la composition de fonctions continues, donc continue sur $\mathbb{R}^2$.
- $x \mapsto -x\sin(xy)$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ pour la même raison.
Toutes les dérivées partielles sont continues sur $\mathbb{R}^2$. Donc, $f$ est de classe C¹ sur $\mathbb{R}^2$.
En application du théorème fondamental, on peut immédiatement en déduire que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
4. Contre-Exemple Revisité
Reprenons la fonction $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ (prolongée par $f(0,0)=0$). Nous savons qu’elle n’est pas continue en $(0,0)$. Le théorème nous assure donc qu’elle ne peut pas être de classe C¹ en $(0,0)$. Vérifions-le.
Pour $(x,y) \neq (0,0)$, on a : $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{y(x^2+y^2) – xy(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} $$
On peut calculer la dérivée partielle en $(0,0)$ avec la définition : $$ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0-0}{h} = 0 $$
Pour que $f$ soit C¹, il faudrait que la fonction $\frac{\partial f}{\partial x}$ soit continue en $(0,0)$, c’est-à-dire que $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0$.
Or, si on s’approche de l’origine le long de l’axe des $y$ (en posant $x=0$), on a :
$$ \lim_{y \to 0} \frac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \lim_{y \to 0} \frac{y(y^2-0)}{(0+y^2)^2} = \lim_{y \to 0} \frac{y^3}{y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y} $$
Cette limite n’existe pas (elle est infinie). La fonction dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ n’est donc pas continue en $(0,0)$. La fonction $f$ n’est pas de classe C¹.