- Une fonction $f$ est un infiniment petit au voisinage de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$.
- Une fonction $f$ est un infiniment grand au voisinage de $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un voisinage de $x_0$. On dit que $f$ et $g$ sont équivalentes au voisinage de $x_0$, et on note $f \sim_{x_0} g$, s’il existe une fonction $h$ définie sur un voisinage de $x_0$ telle que : $$ f(x) = g(x)h(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to x_0} h(x) = 1 $$
Remarque
Si $g$ ne s’annule pas au voisinage de $x_0$ (sauf peut-être en $x_0$), la relation d’équivalence $f \sim_{x_0} g$ est équivalente à : $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $$
Exemples
- Un polynôme est équivalent à son monôme de plus haut degré au voisinage de l’infini. $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0 \sim_{+\infty} a_n x^n$.
- Équivalents usuels en 0 : $\sin x \sim_0 x$, $\quad \ln(1+x) \sim_0 x$, $\quad 1-\cos x \sim_0 \frac{x^2}{2}$.
Si $f(x) \sim_0 ax^n$ (avec $a \neq 0$), on dit que $ax^n$ est la partie principale de $f(x)$, et que $f(x)$ est un infiniment petit d’ordre n.
- Si $f \sim_{x_0} g$ et si $f$ tend vers une limite $l$ (finie ou non) en $x_0$, alors $g$ tend vers la même limite $l$.
- Si $f_1 \sim_{x_0} f_2$ et $g_1 \sim_{x_0} g_2$, alors on peut multiplier et diviser les équivalents : $$ f_1 g_1 \sim_{x_0} f_2 g_2 \quad \text{et} \quad \frac{f_1}{g_1} \sim_{x_0} \frac{f_2}{g_2} $$
Exemple de Calcul de Limite
Calculons la limite en 0 de $f(x) = \frac{(1-\cos x)\sin x}{x^2 \ln(1+x)}$.
On utilise les équivalents usuels : $1-\cos x \sim_0 \frac{x^2}{2}$, $\sin x \sim_0 x$, et $\ln(1+x) \sim_0 x$. Par produit et quotient, on a : $$ f(x) \sim_0 \frac{(\frac{x^2}{2})(x)}{x^2(x)} = \frac{x^3/2}{x^3} = \frac{1}{2} $$ Donc, $\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$.
Remarque : Erreurs à éviter
Attention, on ne peut généralement pas sommer, soustraire ou composer des équivalents.
- Somme/Différence : On a $x+x^2 \sim_0 x$ et $-x \sim_0 -x$. Mais leur somme $(x+x^2)+(-x) = x^2$ n’est pas équivalente à $x+(-x)=0$.
- Composition : On a $x+x^2 \sim_{+\infty} x^2$. Mais $e^{x+x^2}$ n’est pas équivalent à $e^{x^2}$ car leur rapport $\frac{e^{x+x^2}}{e^{x^2}} = e^x$ tend vers $+\infty$.