Notion de Fonctions Harmoniques
Les fonctions harmoniques sont une classe de fonctions extrêmement importantes en mathématiques et en physique. Ce sont les fonctions « les plus lisses possibles » qui décrivent des états d’équilibre. Formellement, ce sont les solutions de l’équation de Laplace, une des équations aux dérivées partielles les plus fondamentales.
1. Définition
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ un champ scalaire de classe C² sur un ouvert $U$.
- L’équation de Laplace est l’équation aux dérivées partielles homogène : $$ \Delta f = 0 $$ où $\Delta$ est l’opérateur Laplacien.
- Une fonction $f$ est dite harmonique sur $U$ si elle est de classe C² et si elle vérifie l’équation de Laplace en tout point de $U$.
2. Propriétés Fondamentales des Fonctions Harmoniques
Les fonctions harmoniques possèdent des propriétés de régularité et de « moyenne » exceptionnelles.
Si une fonction $f$ est harmonique sur un ouvert $U$, alors pour tout point $a \in U$, la valeur $f(a)$ est égale à la moyenne des valeurs de $f$ sur n’importe quelle sphère (ou boule) centrée en $a$ et contenue dans $U$.
[Image de la propriété de la moyenne pour une fonction harmonique]Cette propriété est au cœur de l’interprétation du Laplacien : un Laplacien nul signifie que la valeur au centre est exactement la moyenne des valeurs environnantes.
Une conséquence directe de la propriété de la moyenne est le principe du maximum :
Si $f$ est une fonction harmonique non constante sur un domaine connexe $U$, alors elle ne peut atteindre ni son maximum, ni son minimum à l’intérieur de $U$. Les extrémums de $f$ doivent nécessairement se trouver sur la frontière du domaine.
Interprétation physique : En régime permanent (harmonique), la température en un point ne peut pas être plus chaude (ou plus froide) que tous ses points voisins ; la chaleur se diffuserait. Les points les plus chauds et les plus froids doivent se trouver aux bords du système.
3. Exemples de Fonctions Harmoniques
Exemples en 2D
En 2D, l’équation de Laplace est $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$.
- Fonctions affines : $f(x,y) = ax+by+c$. Toutes les dérivées secondes sont nulles, donc le Laplacien est nul.
- Polynômes : $f(x,y) = x^2 – y^2$. On a $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2$, donc $\Delta f = 2-2=0$. [Image du graphe de la fonction f(x,y) = x^2 – y^2]
- $g(x,y) = xy$. On a $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 0$ et $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 0$, donc $\Delta g = 0$.
- Lien avec l’analyse complexe : Les parties réelle et imaginaire de toute fonction analytique (holomorphe) sont des fonctions harmoniques. Par exemple, pour $h(z) = z^3 = (x+iy)^3 = (x^3 – 3xy^2) + i(3x^2y – y^3)$, les fonctions $f(x,y) = x^3-3xy^2$ et $g(x,y) = 3x^2y-y^3$ sont harmoniques.
Exemples en 3D
En 3D, l’équation de Laplace est $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0$.
- Le potentiel Newtonien / Coulombien $f(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ est harmonique sur $\mathbb{R}^3 \setminus \{(0,0,0)\}$. C’est la fonction la plus importante en électrostatique et en gravitation : elle représente le potentiel créé par une charge ponctuelle ou une masse ponctuelle dans le vide.