Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On appelle fonction puissance n-ième l’application $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^n$.
Cette fonction est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est paire si $n$ est pair, et impaire si $n$ est impair. Son étude se ramène donc à l’intervalle $\mathbb{R}^+$. Sa dérivée est $f'(x) = nx^{n-1}$, qui est strictement positive sur $]0, +\infty[$.
Tableau de Variation sur $\mathbb{R}^+$
| $x$ | 0 | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|
| $f'(x)=nx^{n-1}$ | + | ||
| $f(x)=x^n$ | 0 | ↗ | $+\infty$ |
Fonction Réciproque : Racine n-ième
La fonction $f: x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, elle réalise donc une bijection de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$. Sa fonction réciproque $f^{-1}$, appelée racine n-ième, est définie par : $$ f^{-1}: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $$ $$ x \mapsto \sqrt[n]{x} = x^{1/n} $$ Cette fonction est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, et dérivable sur $]0, +\infty[$ avec pour dérivée : $$ (\sqrt[n]{x})’ = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} $$
Remarques
- Les graphes des fonctions $y=x^n$ et $y=\sqrt[n]{x}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d’équation $y=x$).
- Cas particuliers : Pour $n=2$, $\sqrt[2]{x}$ est la racine carrée $\sqrt{x}$. Pour $n=3$, $\sqrt[3]{x}$ est la racine cubique.
- L’équation $x^n=a$, pour $a \ge 0$, admet une unique solution positive, qui est $x=\sqrt[n]{a}$.
- Si $n$ est impair, la fonction $x \mapsto x^n$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et sa réciproque est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. Dans ce cas, l’équation $x^n=a$ admet une unique solution réelle pour tout $a \in \mathbb{R}$.