Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. Une base $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ est dite orthonormale pour $f$ si elle est orthogonale et si, de plus, l’image de chaque vecteur de base par la forme quadratique associée est égale à 1 : $$ \forall i, j \in \{1, \dots, n\}, \quad f(e_i, e_j) = \delta_{ij} $$ où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker.
Remarque
Si un espace $E$ admet une base orthonormale pour une forme bilinéaire $f$, alors la matrice de $f$ dans cette base est la matrice identité. Une conséquence immédiate est que le déterminant de cette matrice est 1, ce qui signifie que la forme $f$ est non dégénérée. La non-dégénérescence est donc une condition nécessaire à l’existence d’une base orthonormale, mais nous allons voir qu’elle n’est pas toujours suffisante.
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie. Toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur $E$ admet au moins une base orthonormale.
Démonstration
Nous savons que toute forme bilinéaire symétrique sur un espace de dimension finie admet une base orthogonale $(v_1, \dots, v_n)$. Pour chaque $i$, posons $\alpha_i = f(v_i, v_i)$. Comme la forme est non dégénérée, tous les $\alpha_i$ sont non nuls.
Puisque nous travaillons sur le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$, qui est algébriquement clos, l’équation $z^2 = \alpha_i$ admet toujours une solution. Soit $a_i$ une racine carrée de $\alpha_i$.
Définissons une nouvelle famille de vecteurs par $e_i = \frac{1}{a_i}v_i$. Cette famille est une base. Calculons $f(e_i, e_j)$ : $$ f(e_i, e_j) = f\left(\frac{1}{a_i}v_i, \frac{1}{a_j}v_j\right) = \frac{1}{a_i a_j} f(v_i, v_j) $$ Si $i \neq j$, $f(v_i, v_j)=0$ car la base $(v_i)$ est orthogonale. Si $i=j$, $f(e_i, e_i) = \frac{1}{a_i^2} f(v_i, v_i) = \frac{\alpha_i}{\alpha_i} = 1$. La base $(e_i)$ est donc orthonormale.
Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie et $f$ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur $E$. Alors $f$ possède une base orthonormale si et seulement si la forme quadratique associée est définie positive, c’est-à-dire : $$ \forall x \in E, \quad x \neq 0 \implies f(x,x) > 0 $$
Démonstration
($\implies$) Supposons que $f$ admette une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$. Pour tout vecteur non nul $x = \sum x_i e_i$, on a $f(x,x) = \sum_{i=1}^n x_i^2$. Cette somme de carrés de réels est strictement positive si au moins un $x_i$ est non nul, ce qui est le cas pour $x \neq 0$. La forme est donc définie positive.
($\impliedby$) Supposons que $f$ est définie positive. Soit $(v_1, \dots, v_n)$ une base orthogonale de $f$. Pour chaque $i$, comme $v_i \neq 0$, on a par hypothèse $f(v_i, v_i) > 0$. On peut donc définir le réel $a_i = \sqrt{f(v_i, v_i)}$. En posant $e_i = \frac{1}{a_i}v_i$, on construit, comme dans le cas complexe, une base orthonormale pour $f$.