Soit $E$ un K-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$.
- Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux si $f(x, y) = 0$.
- Un vecteur $x \in E$ est dit isotrope si $f(x, x) = 0$. L’ensemble des vecteurs isotropes est appelé le cône isotrope de $f$.
- Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit isotrope si l’intersection de $F$ avec son orthogonal n’est pas réduite au vecteur nul, i.e., $F \cap F^\perp \neq \{0\}$.
- Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit totalement isotrope si $F$ est inclus dans son propre orthogonal, i.e., $F \subseteq F^\perp$.
Remarque
L’ensemble des vecteurs isotropes contient toujours le vecteur nul. Il est stable par multiplication par un scalaire, mais il n’est généralement pas stable par addition, et donc ce n’est pas un sous-espace vectoriel. Par exemple, pour $f(x,y) = x_1y_1 – x_2y_2$ sur $\mathbb{R}^2$, les vecteurs $x=(1,1)$ et $y=(1,-1)$ sont isotropes, mais leur somme $x+y=(2,0)$ ne l’est pas ($f(x+y, x+y)=4$).
Soit $f$ une forme bilinéaire symétrique sur un K-espace vectoriel $E$, et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. Alors, $E$ est la somme directe de $F$ et de son orthogonal $F^\perp$ si et seulement si $F$ est non isotrope. $$ E = F \oplus F^\perp \iff F \text{ est non isotrope (i.e. } F \cap F^\perp = \{0\}) $$
Démonstration
($\implies$) Si la somme est directe, l’intersection $F \cap F^\perp$ est par définition réduite à $\{0\}$, donc $F$ est non isotrope.
($\impliedby$) Supposons $F$ non isotrope, c’est-à-dire $F \cap F^\perp = \{0\}$. Il suffit de montrer que $E = F + F^\perp$.
Considérons la restriction de $f$ à $F$, notée $g$. C’est une forme bilinéaire symétrique sur $F$. Le noyau de $g$ est l’ensemble des $y \in F$ tels que $g(x,y)=0$ pour tout $x \in F$, ce qui est précisément $F \cap F^\perp$. Comme $F$ est non isotrope, ce noyau est nul, donc $g$ est non dégénérée.
Soit maintenant un vecteur quelconque $y \in E$. L’application $\varphi_y: F \to K$ définie par $\varphi_y(x) = f(x,y)$ est une forme linéaire sur $F$. Puisque $F$ est de dimension finie et que $g$ est non dégénérée, l’application de $F$ dans son dual $F^*$ qui à $z$ associe $x \mapsto g(x,z)$ est un isomorphisme. Il existe donc un unique vecteur $y_1 \in F$ tel que $\varphi_y$ soit représentée par $y_1$, c’est-à-dire $\forall x \in F, \varphi_y(x) = g(x,y_1)$.
On a donc, pour tout $x \in F$, $f(x,y) = f(x,y_1)$. Par linéarité, cela signifie $f(x, y-y_1) = 0$. Ce qui prouve que le vecteur $y_2 = y-y_1$ appartient à $F^\perp$.
Finalement, tout vecteur $y \in E$ peut s’écrire $y = y_1 + y_2$ avec $y_1 \in F$ et $y_2 \in F^\perp$. On a bien $E = F + F^\perp$.