Formes différentielles

Les formes différentielles sont des objets centraux en analyse et en géométrie différentielle. Elles généralisent les notions de différentielle et d’intégration sur des variétés.

Définition formelle

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Une $k$-forme différentielle de classe $C^\infty$ sur $U$ associe à chaque point $x \in U$ une application multilinéaire alternée $\omega_x : (\mathbb{R}^n)^k \to \mathbb{R}$, dépendant de manière différentiable de $x$.

On note $\Omega^k(U)$ l’espace vectoriel des $k$-formes de classe $C^\infty$ sur $U$. Localement, toute $k$-forme s’écrit de manière unique :

$$ \omega = \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} f_{i_1\dots i_k}(x) \, dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_k} $$ où les $f_{i_1\dots i_k}$ sont des fonctions $C^\infty(U)$.

Exemples fondamentaux

Les $0$-formes sont les fonctions $f \in C^\infty(U)$. Les $1$-formes sont des combinaisons linéaires $\sum_{i=1}^n a_i(x) \, dx_i$. Une $n$-forme en dimension $n$ s’écrit $f(x) \, dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n$.

Opération extérieure

Pour $\omega \in \Omega^p(U)$ et $\eta \in \Omega^q(U)$, le produit extérieur $\omega \wedge \eta \in \Omega^{p+q}(U)$ est défini par :

$$ (\omega \wedge \eta)_x(v_1,\dots,v_{p+q}) = \frac{1}{p!q!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{p+q}} \operatorname{sgn}(\sigma) \, \omega_x(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(p)}) \eta_x(v_{\sigma(p+1)},\dots,v_{\sigma(p+q)}) $$

Cette opération est associative, distributive et satisfait la relation de graduation :

$$ \omega \wedge \eta = (-1)^{pq} \, \eta \wedge \omega $$

Différentielle d’une forme

La différentielle $d : \Omega^k(U) \to \Omega^{k+1}(U)$ est définie par :

$$ d\omega = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \omega}{\partial x_i} \, dx_i $$

Si $\omega = \sum_I f_I \, dx_I$, alors

$$ d\omega = \sum_{i=1}^n \sum_I \frac{\partial f_I}{\partial x_i} \, dx_i \wedge dx_I $$

Propriétés de la différentielle

• Linéarité : $d(\alpha\omega + \beta\eta) = \alpha\,d\omega + \beta\,d\eta$.
• Règle de Leibniz : $d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta + (-1)^k \omega \wedge d\eta$ si $\omega$ est une $k$-forme.
• Carré nul : $d \circ d = 0$.

Preuve de $d \circ d = 0$ :

En coordonnées, soit $\omega = \sum_I f_I \, dx_I$. Alors $d\omega = \sum_{i,I} \frac{\partial f_I}{\partial x_i} \, dx_i \wedge dx_I$. Appliquons $d$ à nouveau :

\begin{align*}
d(d\omega) &= \sum_{j,i,I} \frac{\partial^2 f_I}{\partial x_j \partial x_i} \, dx_j \wedge dx_i \wedge dx_I \\
&= \frac{1}{2} \sum_{j,i,I} \left( \frac{\partial^2 f_I}{\partial x_j \partial x_i} – \frac{\partial^2 f_I}{\partial x_i \partial x_j} \right) dx_j \wedge dx_i \wedge dx_I \\
&= 0
\end{align*}
car les dérivées secondes sont égales (théorème de Schwarz). $lacksquare$

Intégration des formes différentielles

Soit $M$ une variété différentiable orientée de dimension $k$. Une $k$-forme $\omega$ peut être intégrée sur $M$ :

$$ \int_M \omega $$

Localement, dans une carte orientée $(U,\varphi)$, on écrit $\varphi^*\omega = f(x) \, dx_1 \wedge \dots \wedge dx_k$ et

$$ \int_U \omega = \int_{\varphi(U)} f(x) \, dx_1 \dots dx_k $$

La définition ne dépend pas du choix de la carte grâce à l’orientation.

Exemple sur le cercle $S^1$

Sur $S^1 \subset \mathbb{R}^2$, la $1$-forme $\theta$ (angle polaire) n’est pas exacte globalement. En effet, $\int_{S^1} d\theta = 2\pi \neq 0$, alors que si $\theta = df$, alors $\int_{S^1} df = 0$ par le théorème de Stokes (car $S^1$ est la frontière du disque). Ceci montre que $H^1_{dR}(S^1) \neq 0$.

Théorème de Stokes généralisé

Soit $M$ une variété différentiable orientée de dimension $k$ dont le bord $\partial M$ est une sous-variété orientée de dimension $k-1$. Si $\omega \in \Omega^{k-1}(M)$ est à support compact, alors :

$$ \int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega $$

Ce théorème unifie le théorème fondamental du calcul ($k=1$), le théorème de Green ($k=2$), le théorème de Stokes ($k=2$ dans $\mathbb{R}^3$) et le théorème de Gauss-Ostrogradsky ($k=3$).

Preuve (esquisse dans $\mathbb{R}^n$)

Preuve :

Par partition de l’unité, on peut supposer $\omega$ supportée dans un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$ modélisé par une boule. On écrit alors $\omega = \sum_{i=1}^n f_i(x) \, dx_1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \dots \wedge dx_n$. Alors

$$ d\omega = \left( \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_i} \right) dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n $$

L’intégrale $\int_M d\omega$ devient l’intégrale sur $U$ de la divergence $\sum \frac{\partial f_i}{\partial x_i}$. L’intégrale sur $\partial M$ correspond à la somme des intégrales sur chaque face où une coordonnée est constante, avec l’orientation appropriée. Le théorème de Fubini et le théorème fondamental du calcul donnent l’égalité. $lacksquare$

Conclusion et perspectives

Les formes différentielles fournissent un langage coordonnées-indépendant pour le calcul sur les variétés. Leur cohomologie, définie par $\ker d / \operatorname{im} d$, est un invariant topologique puissant (cohomologie de de Rham). Elles sont omniprésentes en physique (électromagnétisme, relativité générale) et en mathématiques (géométrie algébrique, topologie).

Pour approfondir ce cours et trouver des exercices corrigés, consultez la rubrique dédiée sur KeepMath. Des ressources complémentaires sont disponibles sur CultureMath.