Soit $E$ un K-espace vectoriel. On appelle espace bidual de $E$, noté $E^{**}$, le dual de son espace dual $E^*$. Autrement dit : $$ E^{**} = (E^*)^* = L(E^*, K) $$ Les éléments de $E^{**}$ sont donc des formes linéaires agissant sur des formes linéaires.
Remarque : L’injection canonique
Il existe une application naturelle et fondamentale, notée $j$, de l’espace $E$ vers son bidual $E^{**}$. Cette application, appelée injection canonique, est définie comme suit : pour chaque vecteur $x \in E$, $j(x)$ est la forme linéaire sur $E^*$ qui, à toute forme linéaire $\varphi \in E^*$, associe le scalaire $\varphi(x)$. $$ \forall x \in E, \forall \varphi \in E^*, \quad \langle \varphi, j(x) \rangle = \langle x, \varphi \rangle $$ On peut démontrer que cette application $j$ est toujours linéaire et injective. Par conséquent, tout espace vectoriel $E$ peut être « identifié » à un sous-espace de son bidual $E^{**}$.
Lorsque $E$ est de dimension finie, $E$, $E^*$ et $E^{**}$ ont tous la même dimension. L’application $j$ est alors un isomorphisme. Dans ce cas, on dit que $E$ s’identifie canoniquement à $E^{**}$.
Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $j: E \to E^{**}$ l’isomorphisme canonique.
- Pour toute base $\beta$ de $E$, son image par l’isomorphisme canonique, $j(\beta)$, est la base biduale $\beta^{**}$ (c’est-à-dire la base duale de la base duale $\beta^*$).
- Si $\gamma$ est une base de $E^*$ et $\gamma^*$ sa base duale dans $E^{**}$, alors la base préduale de $\gamma$ dans $E$ est l’image réciproque de $\gamma^*$ par $j$, soit $\beta = j^{-1}(\gamma^*)$.