Écriture Matricielle
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, muni d’une base $\beta = (e_1, \dots, e_n)$. Soit $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$ et $A$ sa matrice dans la base $\beta$.
Pour deux vecteurs $x, y \in E$, si on note $X$ et $Y$ leurs matrices colonnes respectives dans la base $\beta$, l’évaluation de la forme $f(x,y)$ peut s’exprimer de manière compacte par le produit matriciel : $$ f(x,y) = {}^t\overline{X} A Y $$ où ${}^t\overline{X}$ est la transposée du vecteur colonne dont les coefficients sont les conjugués de ceux de $X$.
Démonstration
Soient $x = \sum_i x_i e_i$ et $y = \sum_j y_j e_j$. L’expression de $f(x,y)$ est $\sum_i \sum_j \overline{x_i} y_j f(e_i, e_j) = \sum_i \sum_j \overline{x_i} a_{ij} y_j$. Cette double somme correspond exactement au produit matriciel ${}^t\overline{X} A Y$.
Changement de Base
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$. Soient $\beta$ et $\gamma$ deux bases de $E$. Notons $A$ et $B$ les matrices de $f$ par rapport aux bases $\beta$ et $\gamma$ respectivement.
Si $P$ est la matrice de passage de la base $\beta$ à la base $\gamma$, alors la relation entre les matrices $A$ et $B$ est : $$ B = P^* A P = {}^t\overline{P} A P $$
Démonstration
Soient $x,y \in E$. Notons $X_\beta, Y_\beta$ leurs coordonnées dans la base $\beta$ et $X_\gamma, Y_\gamma$ leurs coordonnées dans la base $\gamma$. Les formules de changement de base pour les coordonnées sont $X_\beta = P X_\gamma$ et $Y_\beta = P Y_\gamma$.
L’expression de $f(x,y)$ est invariante par changement de base. On a donc : $$ {}^t\overline{X_\gamma} B Y_\gamma = f(x,y) = {}^t\overline{X_\beta} A Y_\beta $$ En substituant les formules de changement de coordonnées, on obtient : $$ {}^t\overline{X_\beta} A Y_\beta = {}^t\overline{(P X_\gamma)} A (P Y_\gamma) = ({}^t\overline{X_\gamma} {}^t\overline{P}) A (P Y_\gamma) = {}^t\overline{X_\gamma} ({}^t\overline{P} A P) Y_\gamma $$ Par unicité de la matrice d’une forme sesquilinéaire dans une base donnée, on conclut que $B = {}^t\overline{P} A P = P^*AP$.