Relation de Chasles
Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $c$ un point de l’intervalle $]a, b[$. Alors, $f$ est intégrable sur $[a, c]$ et sur $[c, b]$, et on a : $$ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx $$
Linéarité
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur un même intervalle $[a, b]$ et $\alpha, \beta$ deux réels. Alors, la fonction $\alpha f + \beta g$ est intégrable sur $[a, b]$ et on a : $$ \int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx $$
Intégrale de Riemann et Inégalités
Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a, b]$. Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$, alors : $$ \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx $$
L’intégrale d’une fonction $f$ positive et continue sur $[a,b]$ ne peut être nulle que si cette fonction est identiquement nulle sur $[a,b]$.
Démonstration
Si $f$ n’est pas la fonction nulle, il existe un point $x_0$ de $[a,b]$ tel que $f(x_0) > 0$. Par continuité, il existe un petit intervalle $[x_0-h, x_0+h]$ sur lequel $f(x)$ reste strictement positive (supérieure à un certain $\alpha > 0$). On peut alors minorer l’intégrale de $f$ par l’intégrale d’une fonction en escalier qui vaut $\alpha$ sur ce petit intervalle et 0 ailleurs. Cette intégrale est $2h\alpha > 0$, donc $\int_a^b f(x)dx > 0$.
Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a,b]$. Alors la fonction $|f|$ est également intégrable sur $[a,b]$ et on a l’inégalité : $$ \left| \int_a^b f(x)dx \right| \le \int_a^b |f(x)|dx $$